综合与实践图形的几何变换
复习课上，老师对一张平行四边形纸片ABCD（AD＞AB）进行如下操作：
（1）如图1，折叠该纸片，使边AB恰好落在边AD上，边CD恰好落在边CB上，得到折痕AE和CF，判断四边形AECF的形状并说明理由；
（2）老师沿折痕将△ABE和△CDF剪下，得到两个全等的等腰三角形，已知等腰三角形的腰长为5，底边长为6，底角度数为α，通过不同的摆放方式，三个学习小组利用几何变换设置了几个问题，请一一解答．
①善思小组：
将两个三角形摆放成如图2的位置，使边CF与边EA重合，然后固定△ABE，将△CDF沿着射线EA的方向平移，如图3，当四边形FBED为矩形时，求平移的距离；
②勤学小组：
将两个三角形摆成如图4的位置，使△BAE与△DFC重合，取AE的中点O，固定△ABE，将△CDF绕着点O按逆时针方向旋转（0°＜旋转角＜360°），如图5，在旋转过程中，四边形ACEF的形状是 矩形矩形．
③奋进小组：
在上面的旋转过程中，利用图6进行探究，当△BAE与△DFC的重叠部分为等腰三角形时，旋转角为 2a或360°-2a2a或360°-2a（用含α的代数式表示），此时重叠部分的面积为 1082510825．
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【考点】四边形综合题．
【答案】矩形；2a或360°-2a；
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【解答】
【点评】
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发布：2025/5/30 23:30:1组卷：314引用：2难度：0.1
相似题
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1．已知△ABC是等边三角形，四边形ADEF是菱形，∠ADE=120°（AD＞AB）．
（1）如图①，当AD与边BC相交，点D与点F在直线AC的两侧时，BD与CF的数量关系为．
（2）将图①中的菱形ADEF绕点A旋转α（0°＜α＜180°），如图②．
Ⅰ．判断（1）中的结论是否仍然成立，请利用图②证明你的结论．
Ⅱ．若AC=4，AD=6，当△ACE为直角三角形时，直接写出CE的长度．发布：2025/6/25 7:30:2组卷：365引用：4难度：0.1 -
2．探究问题：
（1）方法感悟：
如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF，求证DE+BF=EF．
感悟解题方法，并完成下列填空：
证明：延长CB到G，使BG=DE，连接AG，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠ABC=∠D=90°，
∴∠ABG=∠D=90°，
∴△ADE≌△ABG．
∴AG=AE，∠1=∠2；
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠3=45°．
即∠GAF=∠．
又AG=AE，AF=AF，
∴△GAF≌．
∴FG=EF，
∵FG=FB+BG，
又BG=DE，
∴DE+BF=EF．
变化：在图①中，过点A作AM⊥EF于点M，请直接写出AM和AB的数量关系 ；
（2）方法迁移：
如图②，将Rt△ABC沿斜边AC翻折得到Rt△ADC，E，F分别是BC，CD边上的点，∠EAF=∠BAD，连接EF，过点A作AM⊥EF于点M，试猜想DF，BE，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．试猜想AM与AB之间的数量关系，并证明你的猜想．12
（3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC，BC上的点，满足∠EAF=∠DAB，试猜想当∠B与∠D满足什么关系时，可使得DE+BF=EF．请直接写出你的猜想（不必说明理由）．猜想：∠B与∠D满足关系：．12发布：2025/6/24 19:0:1组卷：881引用：1难度：0.1 -
3．如图，四边形ABCD是正方形，E是正方形ABCD内一点，F是正方形ABCD外一点，连接BE、CE、DE、BF、CF、EF．
（1）若∠EDC=∠FBC，ED=FB，试判断△ECF的形状，并说明理由．
（2）在（1）的条件下，当BE：CE=1：2，∠BEC=135°时，求BE：BF的值．
（3）在（2）的条件下，若正方形ABCD的边长为（3+3）cm,∠EDC=30°，求△BCF的面积．7发布：2025/6/24 17:30:1组卷：59引用：1难度：0.5
