给定由正整数组成的数列
a
1
=
1
，
a
2
=
2
a
n
+
2
=
a
n
+
1
+
a
n
（n≥1）．
（1）求证：数列相邻项组成的无穷个整点（a₁，a₂），（a₃，a₄），…，（a_2k-1，a_2k），…均在曲线x²+xy-y²+1=0上．
（2）若设f（x）=xⁿ+x^n-1-a_nx-a_n-1，g（x）=x²-x-1，证明：g（x）整除f（x）．

【答案】（1）见解析，（2）见解析．

【解答】

【点评】

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发布：2024/4/20 14:35:0组卷：50引用：1难度：0.4

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1．在数列{a_n}中，
a
1
=
1
，
a
n
+
1
=
2
a
n
2
+
a
n
（
n
∈
N
*
）
．
（Ⅰ）分别求出a₂，a₃，a₄，并根据上述结果猜想这个数列的通项公式；
（Ⅱ）请用数学归纳法证明（Ⅰ）中的猜想．
发布：2024/12/28 23:30:2组卷：44引用：2难度：0.6
解析
2．如图，P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），⋯，P_n（x_n，y_n）（0＜y₁＜y₂＜⋯＜y_n）是曲线C：y²=3x（y≥0）上的n个点，点A_i（a_i，0）（i=1，2，3，⋯，n）在x轴的正半轴上，且△A_i-1A_iP_i是正三角形（A₀是坐标原点）．
（1）求a₁、a₂、a₃的值及数列{a_n}的递推公式；
（2）猜想点A_n（a_n，0）的横坐标a_n关于n的表达式，并用数学归纳法证明．
发布：2024/7/13 8:0:9组卷：52引用：2难度：0.5
解析
3．已知点P_n（a_n，b_n）满足a_n+1=a_nb_n+1，b_n+1=
b
n
1
-
4
a
2
n
，且点P₁的坐标为（1，-1）．
（1）求过点P₁、P₂的直线l的方程；
（2）试用数学归纳法证明：对于任意n∈N，n≥1，点P_n都在（1）中的直线l上；
（3）试求数列{a_n}、{b_n}的通项公式．
发布：2024/8/15 5:0:1组卷：163引用：1难度：0.4
解析

1．在数列{an}中，a1=1，an+1=2an2+an（n∈N*）．（Ⅰ）分别求出a2，a3，a4，并根据上述结果猜想这个数列的通项公式；（Ⅱ）请用数学归纳法证明（Ⅰ）中的猜想．