如图，抛物线L：y=ax2+bx+4与x轴交于点A（-1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．将抛物线L向右平移一个单位得到抛物线L'．
（1）求抛物线L与L'的函数解析式；
（2）连接AC，探究抛物线L'的对称轴上是否存在点P，使得以点A，C，P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）L的函数解析式：，L'的函数解析式：；
（2）抛物线L'的对称轴上存在点P，使得以点A，C，P为顶点的三角形是等腰三角形，点P的坐标为或或或或．
y
=
-
4
3
x
2
+
8
3
x
+
4
y
=
-
4
3
x
2
+
16
3
x
（2）抛物线L'的对称轴上存在点P，使得以点A，C，P为顶点的三角形是等腰三角形，点P的坐标为
（
2
，
2
2
）
（
2
，-
2
2
）
（
2
，
4
+
13
）
（
2
，
4
-
13
）
（
2
，
11
8
）
【解答】
【点评】
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发布：2025/5/21 23:30:2组卷：174引用：1难度：0.1
相似题
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1．如图，在抛物线上取B1（y=-23x2），在y轴负半轴上取一个点A1，使△OB1A1为等边三角形；然后在第四象限取抛物线上的点B2，在y轴负半轴上取点A2，使△A1B2A2为等边三角形；重复以上的过程，可得△A99B100A100，则A100的坐标为32，-12．发布：2025/6/14 0:0:1组卷：598引用：19难度：0.5 -
2．如图，一次函数
分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y=-x2+bx+c过A、B两点．y=-12x+2
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）作垂直x轴的直线x=t,在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？
（3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标．
发布：2025/6/14 0:30:2组卷：2590引用：62难度：0.5 -
3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=
x2和直线y=x+m（m＞0）交于A、B两点，直线y=x+m交y轴于点E．12
（1）当m=时，求A、B两点的坐标；32
（2）若BE=2AE，求m的值；
（3）当m=时，平行于y轴的直线x=t交直线y=x+m和抛物线于C、D两点，当以O、E、D、C为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出t的值．32
发布：2025/6/13 23:0:1组卷：189引用：1难度：0.1
