已知椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右顶点为A，上顶点为B，离心率e=32，O为坐标原点，圆O：x2+y2=45与直线AB相切．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）已知四边形ABCD内接于椭圆E，AB∥DC．记直线AC，BD的斜率分别为k1，k2，试问k1•k2是否为定值？证明你的结论．
E
：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
e
=
3
2
O
：
x
2
+
y
2
=
4
5
【考点】椭圆的几何特征．
【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）k1•k2=为定值，证明过程如下：
由（I）得直线AB的方程为y=-x+1，
故可设直线DC的方程为y=-x+m，显然m≠±1．
设C（x1，y1），D（x2，y2）．
联立
消去y得x2-2mx+2m2-2=0，
则Δ=8-4m2＞0，解得-＜m＜，且m≠±1，
∴x1+x2=2m，x1x2=2m2-2．
由，，
则=，
=，
=，
==．
x
2
4
+
y
2
=
1
（Ⅱ）k1•k2=
1
4
由（I）得直线AB的方程为y=-
1
2
故可设直线DC的方程为y=-
1
2
设C（x1，y1），D（x2，y2）．
联立
x 2 4 + y 2 = 1 |
y = - 1 2 x + m |
则Δ=8-4m2＞0，解得-
2
2
∴x1+x2=2m，x1x2=2m2-2．
由
k
1
=
y
1
x
1
-
2
k
2
=
y
2
-
1
x
2
则
k
1
k
2
=
y
1
x
1
-
2
•
y
2
-
1
x
2
（
-
1
2
x
1
+
m
）
x
1
-
2
•
（
-
1
2
x
2
+
m
）
-
1
x
2
=
1
4
x
1
x
2
-
m
2
（
x
1
+
x
2
）
+
m
2
+
1
2
x
1
-
m
x
1
x
2
-
2
x
2
=
1
4
•
（
2
m
2
-
2
）
-
m
2
•
（
2
m
）
+
m
2
+
2
m
-
x
2
2
-
m
（
2
m
2
-
2
）
-
2
x
2
=
m
2
2
-
1
2
-
x
2
2
2
m
2
-
2
-
2
x
2
1
4
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：438引用：4难度：0.1
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