古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10⋯这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16⋯这样的数称为“正方形数”．观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：
（1）下图反映了任何一个三角形数是如何得到的，认真观察，并在④后面的横线上写出相应的等式；
①1=1，
②1+2=（1+2）×22=3，
③1+2+3=（1+3）×32=6，
④
（2）通过猜想，写出（1）中与第八个点阵相对应的等式；
（3）从下图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．结合（1）观察下列点阵图，并在⑤看面的横线上写出相应的等式；
①1=12，
②1+3=22，
③3+6=32，
④6+10=42，
⑤
（4）通过猜想，写出（3）中与第n个点阵相对应的等式；
（5）判断256是不是正方形数，如果不是，说明理由；如果是，256可以看作哪两个相邻的“三角形数”之和？
1
+
2
=
（
1
+
2
）
×
2
2
=
3
1
+
2
+
3
=
（
1
+
3
）
×
3
2
=
6
【答案】（1）（1）；
（2）；
（3）（3）10+15=52；
（4）；
（5）256是正方形数，可以看作是120，136 这两个相邻的三角形数的和．
1
+
2
+
3
+
4
=
（
1
+
4
）
×
4
2
=
10
（2）
1
+
2
+
3
+
⋯
+
8
=
（
1
+
8
）
×
8
2
=
36
（3）（3）10+15=52；
（4）
（
1
+
n
-
1
）
（
n
-
1
）
2
+
（
1
+
n
）
×
n
2
=
n
2
（5）256是正方形数，可以看作是120，136 这两个相邻的三角形数的和．
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：79引用：2难度：0.5
