如图，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于A（-2，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，连AC、BC．M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．（备用公式：点A（x1，y1）与点B（x2，y2）的距离为（x1-x2）2+（y1-y2）2）
（1）求抛物线的表达式；
（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．设M点的坐标为M（m,0），请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？
（3）试探究点M在运动过程中，平面内是否存在点D，使得以A、C、Q、D为顶点的四边形是菱形．若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
（
x
1
-
x
2
）
2
+
（
y
1
-
y
2
）
2
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）；
（2）PN=，当m=时，PN有最大值，最大值为；
（3）平面内存在点D，使得以A、C、Q、D为顶点的四边形是菱形．点D的坐标为（3，5）或（，）．
y
=
-
1
2
x
2
+
1
2
x
+
3
（2）PN=
-
2
4
m
2
+
3
2
4
m
3
2
9
2
16
（3）平面内存在点D，使得以A、C、Q、D为顶点的四边形是菱形．点D的坐标为（3，5）或（
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2
-
2
-
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2
【解答】
【点评】
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发布：2025/5/30 12:30:2组卷：51引用：2难度：0.1
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1．如图，抛物线y=ax2+经过△ABC的三个顶点，点A坐标为（-1，2），点B是点A关于y轴的对称点，点C在x轴的正半轴上．94
（1）求该抛物线的函数关系表达式；
（2）点F为线段AC上一动点，过F作FE⊥x轴，FG⊥y轴，垂足分别为E、G，当四边形OEFG为正方形时，求出F点的坐标．发布：2025/6/16 19:30:1组卷：730引用：9难度：0.4 -
2．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（6，0），B（-2，0），C（0，-3）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点H是该抛物线第四象限的任意一点，求四边形OCHA的最大面积；
（3）若点Q在x轴上，点G为该抛物线的顶点，且∠QGA=45°，求点Q的坐标．发布：2025/6/16 23:0:1组卷：401引用：5难度：0.5 -
3．如图，直线y1=-x+3与x轴于交于点B，与y轴交于点C．抛物线y2=-x2+bx+c经过B、C两点，并与x轴另一个交点为A．
（1）求抛物线y2的解析式；
（2）若点M在抛物线上，且S△MOC=4S△AOC，求点M的坐标；
（3）设点P是线段BC上一动点，过P作PQ⊥x轴，交抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值．发布：2025/6/17 2:0:1组卷：1010引用：3难度：0.3
