在平面直角坐标系xoy中，F是抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点，圆Q过O点与F点，且圆心Q到抛物线C的准线的距离为32．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过F作倾斜角为60°的直线L，交曲线C于A，B两点，求△OAB的面积；
（3）已知抛物线上一点M（4，4），过点M作抛物线的两条弦MD和ME，且MD⊥ME，判断：直线DE是否过定点？说明理由．
3
2
【考点】直线与圆锥曲线的综合．
【答案】（1）y2=4x；
（2）；
（3）设直线
，可得y2-4my-4t=0，则Δ=16m2+16t＞0（*）
设D（x1，y1），E（x2，y2），则y1+y2=4m，y1y2=-4t，
∵=x1x2-4（x1+x2）+16+y1y2-4（y1+y2）+16
==
=t2-16m2-12t+32-16m，
即t2-12t+32=16m2+16m得：（t-6）2=4（2m+1）2，
∴t-6=±2（2m+1）即：t=4m+8或t=-4m+4
代入（*）式检验均满足Δ＞0，
∴直线DE的方程为：x=my+4m+8=m（y+4）+8或：x=m（y-4）+4，
∴直线过定点（8，-4）．（定点（4，4）不满足题意，故舍去）
（2）
4
3
3
（3）设直线
DE
：
x = my + t |
y 2 = 4 x |
设D（x1，y1），E（x2，y2），则y1+y2=4m，y1y2=-4t，
∵
0
=
MD
•
ME
=
（
x
1
-
4
，
y
1
-
4
）
•
（
x
2
-
4
，
y
2
-
4
）
=
y
1
2
4
•
y
2
2
4
-
4
（
y
1
2
4
+
y
2
2
4
）
+
16
+
y
1
y
2
-
4
（
y
1
+
y
2
）
+
16
（
y
1
y
2
）
2
16
-
（
y
1
+
y
2
）
2
+
3
y
1
y
2
-
4
（
y
1
+
y
2
）
+
32
=t2-16m2-12t+32-16m，
即t2-12t+32=16m2+16m得：（t-6）2=4（2m+1）2，
∴t-6=±2（2m+1）即：t=4m+8或t=-4m+4
代入（*）式检验均满足Δ＞0，
∴直线DE的方程为：x=my+4m+8=m（y+4）+8或：x=m（y-4）+4，
∴直线过定点（8，-4）．（定点（4，4）不满足题意，故舍去）
【解答】
【点评】
声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。
发布：2024/6/27 10:35:59组卷：52引用：4难度：0.3
相似题
-
1．点P在以F1，F2为焦点的双曲线
（a＞0，b＞0）上，已知PF1⊥PF2，|PF1|=2|PF2|，O为坐标原点．E：x2a2-y2b2=1
（Ⅰ）求双曲线的离心率e；
（Ⅱ）过点P作直线分别与双曲线渐近线相交于P1，P2两点，且，OP1•OP2=-274，求双曲线E的方程；2PP1+PP2=0
（Ⅲ）若过点Q（m,0）（m为非零常数）的直线l与（2）中双曲线E相交于不同于双曲线顶点的两点M、N，且（λ为非零常数），问在x轴上是否存在定点G，使MQ=λQN？若存在，求出所有这种定点G的坐标；若不存在，请说明理由．F1F2⊥（GM-λGN）发布：2024/12/29 10:0:1组卷：72引用：5难度：0.7 -
2．已知两个定点坐标分别是F1（-3，0），F2（3，0），曲线C上一点任意一点到两定点的距离之差的绝对值等于2
．5
（1）求曲线C的方程；
（2）过F1（-3，0）引一条倾斜角为45°的直线与曲线C相交于A、B两点，求△ABF2的面积．发布：2024/12/29 10:30:1组卷：103引用：1难度：0.9 -
3．若过点（0，-1）的直线l与抛物线y2=2x有且只有一个交点，则这样的直线有（ ）条．
发布：2024/12/29 10:30:1组卷：26引用：5难度：0.7
