已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，左顶点为A，且|FA|=2+5，F到C的渐近线的距离为1，过点B（4，0）的直线l与双曲线C的右支交于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴分别交于M，N两点．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）若直线MB，NB的斜率分别为k1，k2，判断k1k2是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）
|
FA
|
=
2
+
5
【考点】双曲线的定点及定值问题．
【答案】（1）；
（2）k1k2为定值，证明如下：
设直线l：x=my+4，-2＜m＜2，P（x1，y1），Q（x2，y2），
联立方程组
得（m2-4）y2+8my+12=0，
所以，．
因为直线AP的方程为，
所以M的坐标为，同理可得N的坐标为．
因为，，
所以
=，
即k1k2为定值．
x
2
4
-
y
2
=
1
（2）k1k2为定值，证明如下：
设直线l：x=my+4，-2＜m＜2，P（x1，y1），Q（x2，y2），
联立方程组
x = my + 4 ， |
x 2 4 - y 2 = 1 ， |
所以
y
1
+
y
2
=
-
8
m
m
2
-
4
y
1
y
2
=
12
m
2
-
4
因为直线AP的方程为
y
=
y
1
x
1
+
2
（
x
+
2
）
所以M的坐标为
（
0
，
2
y
1
x
1
+
2
）
（
0
，
2
y
2
x
2
+
2
）
因为
k
1
=
2
y
1
x
1
+
2
-
4
=
-
y
1
2
（
x
1
+
2
）
k
2
=
2
y
2
x
2
+
2
-
4
=
-
y
2
2
（
x
2
+
2
）
所以
k
1
k
2
=
y
1
y
2
4
（
x
1
+
2
）
（
x
2
+
2
）
=
y
1
y
2
4
（
m
y
1
+
6
）
（
m
y
2
+
6
）
=
y
1
y
2
4
[
m
2
y
1
y
2
+
6
m
（
y
1
+
y
2
）
+
36
]
=
12
m
2
-
4
4
（
12
m
2
m
2
-
4
-
48
m
2
m
2
-
4
+
36
）
=
3
12
m
2
-
48
m
2
+
36
m
2
-
144
=
-
1
48
即k1k2为定值
-
1
48
【解答】
【点评】
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发布：2024/7/20 8:0:8组卷：220引用：10难度：0.6
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