已知椭圆C：x2+3y2=3，过点D（1，0）且不过点E（2，1）的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x=3交于点M．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；
（3）试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由．
【考点】直线与椭圆的综合．
【答案】（1）；
（2）1；
（3）结论：直线BM与直线DE平行．
证明如下：
当直线AB的斜率不存在时，由（2）知kBM=1，
又∵直线DE的斜率kDE==1，∴BM∥DE；
当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=k（x-1）（k≠1），
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则直线AE的方程为y-1=（x-2），
令x=3，则点M（3，），
∴直线BM的斜率kBM=，
联立
，得（1+3k2）x2-6k2x+3k2-3=0，
由韦达定理，得x1+x2=，x1x2=，
∵kBM-1=
=
==0，
∴kBM=1=kDE，即BM∥DE；
综上所述，直线BM与直线DE平行．
6
3
（2）1；
（3）结论：直线BM与直线DE平行．
证明如下：
当直线AB的斜率不存在时，由（2）知kBM=1，
又∵直线DE的斜率kDE=
1
-
0
2
-
1
当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=k（x-1）（k≠1），
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则直线AE的方程为y-1=
y
1
-
1
x
1
-
2
令x=3，则点M（3，
x
1
+
y
1
-
3
x
1
-
2
∴直线BM的斜率kBM=
x
1
+
y
1
-
3
x
1
-
2
-
y
2
3
-
x
2
联立
x 2 + 3 y 2 = 3 |
y = k （ x - 1 ） |
由韦达定理，得x1+x2=
6
k
2
1
+
3
k
2
3
k
2
-
3
1
+
3
k
2
∵kBM-1=
k
（
x
1
-
1
）
+
x
1
-
3
-
k
（
x
2
-
1
）
（
x
1
-
2
）
-
（
3
-
x
2
）
（
x
1
-
2
）
（
3
-
x
2
）
（
x
1
-
2
）
=
（
k
-
1
）
[
-
x
1
x
2
+
2
（
x
1
+
x
2
）
-
3
]
（
3
-
x
2
）
（
x
1
-
2
）
=
（
k
-
1
）
（
-
3
k
2
+
3
1
+
3
k
2
+
12
k
2
1
+
3
k
2
-
3
）
（
3
-
x
2
）
（
x
1
-
2
）
∴kBM=1=kDE，即BM∥DE；
综上所述，直线BM与直线DE平行．
【解答】
【点评】
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发布：2024/4/20 14:35:0组卷：3073引用：15难度：0.5
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