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定义函数f（x）=cos（sinx）为“正余弦”函数．结合学过的相关知识，我们可以得到该函数的性质：
1．我们知道，正弦函数y=sinx和余弦函数y=cosx的定义域均为R，故函数f（x）=cos（sinx）的定义域为R．
2．我们知道，正弦函数y=sinx为奇函数，余弦函数y=cosx为偶函数，对f（x）=cos（sinx），f（-x）=cos[sin（-x）]=cos（-sinx）=cos（sinx）=f（x），可得：函数f（x）=cos（sinx）为偶函数．
3．我们知道，正弦函数y=sinx和余弦函数y=cosx的最小正周期均为2π，对f（x）=cos（sinx），f（x+2π）=cos[sin（x+2π）]=cos（sinx）=f（x），可知2π为该函数的周期，是否是最小正周期呢？我们继续探究：f（x+π）=cos[sin（x+π）]=cos（-sinx）=cos（sinx）=f（x）．
可得：π也为函数f（x）=cos（sinx）的周期．但是否为该函数的最小正周期呢？我们来研究f（x）=cos（sinx）在区间[0，π]上的单调性，在区间[0，π]上，余弦函数y=cosx单调递减，正弦函数y=sinx在[0，π2]上单调递增，在（π2，π]上单调递减，故我们需要分这两个区间来讨论．
当x∈[0，π2]时，设0≤x1＜x2≤π2，因正弦函数y=sinx在[0，π2]上单调递增，故sinx1＜sinx2，令t1=sinx1，t2=sinx2，可得0≤t1＜t2≤1＜π，而在区间[0，π]上，余弦函数y=cosx单调递减，故：cost1＞cost2即：cos（sinx1）＞cos（sinx2）从而，x∈[0，π2]时，函数f（x）=cos（sinx）单调递减．
同理可证，x∈（π2，π]时，函数f（x）=cos（sinx）单调递增．可得，函数f（x）=cos（sinx）在[0，π2]上单调递减，在（π2，π]上单调递增．结合f（x+π）=f（x）．
可以确定：f（x）=cos（sinx）的最小正周期为π．
这样，我们可以求出该函数的值域了：
显然：f（x）min=f（π2）=cos（sinπ2）=cos1，而f（0）=1=f（π）
故f（x）=cos（sinx）的值域为[cos1，1]
定义函数f（x）=sin（cosx）为“余正弦”函数，根据阅读材料的内容，解决下列问题：
（1）求该函数的定义域；
（2）判断该函数的奇偶性；
（3）探究该函数的单调性及最小正周期，并求其值域．
[
0
，
π
2
]
（
π
2
，
π
]
x
∈
[
0
，
π
2
]
0
≤
x
1
＜
x
2
≤
π
2
[
0
，
π
2
]
x
∈
[
0
，
π
2
]
x
∈
（
π
2
，
π
]
[
0
，
π
2
]
（
π
2
，
π
]
f
（
x
）
min
=
f
（
π
2
）
=
cos
（
sin
π
2
）
=
cos
1
【答案】（1）R；（2）f（x）在R上为偶函数；（3）f（x）的减区间为[2kπ，2kπ+π]，k∈Z；增区间为[2kπ+π，2kπ+2π]，k∈Z；最小正周期为T=2π；值域为[-sin1，sin1]．
【解答】
【点评】
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发布：2024/11/11 8:0:1组卷：83引用：1难度：0.5
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