【问题原型】如图（1）所示，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，BC=a,AB的中点为F，将线段FB绕点B按顺时针方向旋转90得到线段BD，连接CD，过点D作BC边上的高DE，易证△ABC∽△BDE，从而得到△BCD的面积为14a2．
【初步探究】如图（2）所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a,AB的中点为F．将线段FB绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD，连接CD．用含a的代数式表示△BCD的面积，并说明理由．
【简单应用】如图（3）所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC，BC=a,AB的中点为F．将线段FB绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD，连接CD，直接写出△BCD的面积（用含a的代数式表示）．
1
4
a
2
【考点】相似形综合题．
【答案】【初步探究】S△BCD=a2，理由见解析；
【简单应用】a2．
1
4
【简单应用】
1
8
【解答】
【点评】
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发布：2025/5/21 19:0:1组卷：149引用：1难度：0.2
相似题
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1．【问题情境】
（1）古希腊著名数学家欧几里得在《几何原本》提出了射影定理，又称“欧几里德定理”：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．射影定理是数学图形计算的重要定理．
其符号语言是：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，则：（1）CD2=AD•BD，（2）AC2=AB•AD，（3）BC2=AB•BD；请你证明定理中的结论（3）BC2=AB•BD．
【结论运用】
（2）如图2，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，
①求证：△BOF∽△BED；
②若BE=2，求OF的长．10
发布：2025/5/22 0:0:2组卷：1315引用：5难度：0.3 -
2．阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．
（1）特例感知：如图（1），已知边长为2的等边△ABC的重心为点O，则△OBC的面积为；33
（2）性质探究：如图（2），已知△ABC的重心为点O，对于任意形状的△ABC，是不是定值，如果是，请求出定值为多少，如果不是，请说明理由；ODOA
（3）性质应用：如图（3），在任意矩形ABCD中，点E是CD的中点，连接BE交对角线AC于点M，的值是不是定值，如果是，请求出定值为多少，如果不是，请说明理由；S矩形ABCDS三角形CME
（4）思维拓展：如图（4），∠MON=30°，N点的坐标为（2，0），M点的坐标为（3，），点Q在线段OM上以每秒1个单位的速度由O向M点移动，当Q运动到M点就停止运动，连接NQ，将△MON分为△OQN和△MQN两个三角形，当其中一个三角形与原△MON相似时，求点Q运动的时间t.3
发布：2025/5/22 1:0:1组卷：617引用：4难度：0.1 -
3．如图，等腰Rt△ABC，∠ACB=90°，分别以AB，AC为边长在AB同侧作等边△ABD和等边△ACE，AD与CE相交于点F，连接DE，DC．
（1）求证：BC=DE；
（2）求证：CD2=AC•FC；
（3）已知AB=2，求线段EF的长．发布：2025/5/22 2:30:1组卷：144引用：4难度：0.1
