如图，已知经过A（1，0），B（4，0）两点的抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C．
（1）求此抛物线的解析式及点C的坐标；
（2）若线段BC上有一动点M（不与B、C重合），过点M作MN⊥x轴交抛物线于点N．
①求当线段MN的长度最大时点M的坐标；
②是否存在一点M，使得四边形OCMN为菱形？若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）y=x2-5x+4，C（0，4）；
（2）①M（2，2）；②不存在，理由见解析．
（2）①M（2，2）；②不存在，理由见解析．
【解答】
【点评】
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发布：2024/7/7 8:0:9组卷：385引用：6难度：0.2
相似题
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1．如图，抛物线y=ax2-8ax+12a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），抛物线上另有一点C在第一象限，满足∠ACB为直角，且使∠OCA=∠OBC．
（1）求线段OC的长；
（2）求该抛物线的函数关系式；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△BCP是以BC为腰的等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
发布：2025/5/23 15:0:2组卷：500引用：1难度：0.2 -
2．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点D及与y轴的交点C都在直线y=x+1上，对称轴是直线x=1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若在自变量x的值满足t≤x≤t+2时，与其对应的函数值y的最小值为-7，求此时t的值；
（3）设m为抛物线与x轴一个交点的横坐标，求的值．m8+m4-20m2+6m3+14m+6发布：2025/5/23 15:0:2组卷：431引用：1难度：0.4 -
3．如图，对称轴为直线x=1的抛物线y=x2-bx+c与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2）两点，与y轴交于C点，且+1x1=-1x2．23
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线顶点为D，直线BD交y轴于E点；
①设点P为线段BD上一点（点P不与B、D两点重合），过点P作x轴的垂线与抛物线交于点F，求△BDF面积的最大值；
②在线段BD上是否存在点Q，使得∠BDC=∠QCE？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．发布：2025/5/23 15:30:2组卷：364引用：9难度：0.1
