已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为12，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x-y+6=0相切．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设S为椭圆右顶点，过椭圆C的右焦点的直线l与椭圆C交于P，Q两点（异于S），直线PS，QS分别交直线x=4于A，B两点．求证：A，B两点的纵坐标之积为定值．
x
2
a
2
+
y
2
b
2
1
2
6
【答案】（Ⅰ）=1；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得，S（2，0），右焦点F（1，0）由题意得，直线l的斜率不为零，设直线l为：x=my+1，设P（x'，y'），Q（x''，y''），
联立直线l与椭圆的方程整理得：（4+3m2）y2+6my-9=0，∴y'+y''=，y'y''=；
∵kPF=，设直线FP：y=（x-2），与x=4联立，得y=，即yA=，
同理可得：yB=，
∴yAyB======-9，为定值，
所以A，B两点的纵坐标之积为定值-9．
x
2
4
+
y
2
3
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得，S（2，0），右焦点F（1，0）由题意得，直线l的斜率不为零，设直线l为：x=my+1，设P（x'，y'），Q（x''，y''），
联立直线l与椭圆的方程整理得：（4+3m2）y2+6my-9=0，∴y'+y''=
-
6
m
4
+
3
m
2
-
9
4
+
3
m
2
∵kPF=
y
′
x
′-
2
y
′
x
′-
2
2
y
′
x
′-
2
2
y
′
x
′-
2
同理可得：yB=
2
y
″
x
″-
2
∴yAyB=
4
y
′
y
″
（
x
′-
2
）
（
x
″-
2
）
4
y
′
y
″
（
my
′-
1
）
（
my
″-
1
）
4
y
′
y
″
m
2
y
′
y
″-
m
（
y
′
+
y
″
）
+
1
-
36
4
+
3
m
2
-
9
m
2
4
+
3
m
2
-
m
-
6
m
4
+
3
m
2
+
1
-
36
4
所以A，B两点的纵坐标之积为定值-9．
【解答】
【点评】
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发布：2024/4/20 14:35:0组卷：312引用：7难度：0.5
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