仔细阅读以下内容解决问题：第24届国际数学家大会会标，设两条直角边的边长为a,b,则面积为12ab,四个直角三角形面积和小于正方形的面积得：a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时取等号．在a2+b2≥2ab中，若a＞0，b＞0，用a、b代替a,b得，a+b≥2ab，即a+b2≥ab（*），我们把（*）式称为基本不等式．利用基本不等式我们可以求这个式子的最大最小值．我们以“已知x为实数，求y=x2+4x2+1的最小值”为例给同学们介绍．
解：由题知y=x2+1+3x2+1=x2+1+3x2+1，
∴x2+1＞0，3x2+1＞0，
∴y=x2+1+3x2+1≥2x2+1⋅3x2+1=23，当且仅当x2+1=3x2+1时取等号，即当x=2时，函数的最小值为23．
总结：利用基本不等式a+b2≥ab（a＞0，b＞0）求最值，若ab为定值．则a+b有最小值．
请同学们根据以上所学的知识求下列函数的最值，并求出取得最值时相应x的取值．
（1）若x＞0，求y=2x+2x的最小值；
（2）若x＞2，求y=x+1x-2的最小值；
（3）若x≥0，求y=x+4x+13x+2的最小值．
1
2
a
b
ab
a
+
b
2
≥
ab
x
2
+
4
x
2
+
1
x
2
+
1
+
3
x
2
+
1
=
x
2
+
1
+
3
x
2
+
1
x
2
+
1
3
x
2
+
1
x
2
+
1
+
3
x
2
+
1
≥
2
x
2
+
1
⋅
3
x
2
+
1
=
2
3
x
2
+
1
=
3
x
2
+
1
2
3
a
+
b
2
≥
ab
2
x
1
x
-
2
x
+
4
x
+
13
x
+
2
【考点】三角形综合题．
【答案】（1）4；
（2）4；
（3）6．
（2）4；
（3）6．
【解答】
【点评】
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发布：2025/5/24 19:30:1组卷：236引用：3难度：0.5
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1．【问题呈现】某学校的数学社团成员在学习时遇到这样一个题目：
如图1，在△ABC中，AB＞AC，AD平分∠BAC交BC于点D，点E在DC的延长线上，过E作EF∥AB交AC的延长线于点F，当BD：DE=1时，试说明：AF+EF=AB；
【方法探究】
社团成员在研究探讨后，提出了下面的思路：
在图1中，延长线段AD，交线段EF的延长线于点M，可以用AAS明△ABD≌△MED，从而得到EM=AB…
（1）请接着完成剩下的说理过程；
【方法运用】
（2）在图1中，若BD：DE=k,则线段AF、EF、AB之间的数量关系为 （用含k的式子表示，不需要证明）；
（3）如图2，若AB=7，EF=6，AF=8，BE=12，求出BD的长；
【拓展提升】
（4）如图3，若DE=2BD，连接AE，已知AB=9，tan∠DAF=，AE=212，且AF＞EF，则边EF的长=．17
发布：2025/5/25 0:0:2组卷：320引用：4难度：0.2 -
2．如图，OC为∠AOB的角平分线，∠AOB=α（0°＜α＜180°），点D为射线OA上一点，点M，N为射线OB上两个动点且满足MN=OD，线段ON的垂直平分线交OC于点P，交OB于点Q，连接DP，MP．
（1）如图1，若α=90°时，线段DP与线段MP的数量关系为 ．
（2）如图2，若α为任意角度时，（1）中的结论是否变化，请说明理由；
（3）如图3，若α=60°时，连接DM，请直接写出的最小值．DMON发布：2025/5/25 1:0:1组卷：92引用：2难度：0.1 -
3．在△ABC中，AB=BC，∠B=45°，AD为BC边上的高，M为线段AB上一动点．
（1）如图1，连接CM交AD于Q，若∠ACM=45°，AB=．求线段DQ的长度；2
（2）如图2，点M，N在线段AB上，且AM=BN，连接CM，CN分别交线段AD于点Q、P，若点P为线段CN的中点，求证：AQ+CD=AB；2
（3）如图3，若AD=4，当点M在运动过程中，射线DB上有一点G，满足BM=10DG，AG+2MG的最小值．55
发布：2025/5/24 23:0:1组卷：102引用：1难度：0.1
