已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的焦距和长半轴长都为2．过椭圆C的右焦点F作斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆C相交于P，Q两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设点A是椭圆C的左顶点，直线AP，AQ分别与直线x=4相交于点M，N．求证：以MN为直径的圆恒过点F．
C
：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
【答案】（Ⅰ）+=1；
（Ⅱ）证明：F（1，0），A（-2，0），直线l的方程为y=k（x-1），
联立椭圆方程可得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0，
直线l过椭圆的焦点，显然直线l与椭圆相交．设P（x1，y1），Q（x2，y2），
则x1+x2=，x1x2=，直线AP的方程为y=（x+2），
可令x=4，得yM=，即M（4，），
同理可得N（4，），所以=（3，），=（3，），
又•=9+
=9+=9+=9+
=9+=9-9=0．
所以以MN为直径的圆恒过点F．
x
2
4
y
2
3
（Ⅱ）证明：F（1，0），A（-2，0），直线l的方程为y=k（x-1），
联立椭圆方程可得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0，
直线l过椭圆的焦点，显然直线l与椭圆相交．设P（x1，y1），Q（x2，y2），
则x1+x2=
8
k
2
3
+
4
k
2
4
k
2
-
12
3
+
4
k
2
y
1
x
1
+
2
可令x=4，得yM=
6
y
1
x
1
+
2
6
y
1
x
1
+
2
同理可得N（4，
6
y
2
x
2
+
2
FM
6
y
1
x
1
+
2
FN
6
y
2
x
2
+
2
又
FM
FN
36
y
1
y
2
（
x
1
+
2
）
（
x
2
+
2
）
=9+
36
k
2
（
x
1
-
1
）
（
x
2
-
1
）
（
x
1
+
2
）
（
x
2
+
2
）
36
k
2
[
x
1
x
2
-
（
x
1
+
x
2
）
+
1
]
x
1
x
2
+
2
（
x
1
+
x
2
）
+
4
36
k
2
（
4
k
2
-
12
3
+
4
k
2
-
8
k
2
3
+
4
k
2
+
1
）
4
k
2
-
12
3
+
4
k
2
+
16
k
2
3
+
4
k
2
+
4
=9+
36
k
2
•
-
9
3
+
4
k
2
36
k
2
3
+
4
k
2
所以以MN为直径的圆恒过点F．
【解答】
【点评】
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发布：2024/4/20 14:35:0组卷：711引用：9难度：0.5
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