已知F1（-c,0）、F2（c,0）是椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的焦点，点M在椭圆E上．
（Ⅰ）若∠F1MF2的最大值是π2，求椭圆E的离心率；
（Ⅱ）设直线x=my+c与椭圆E交于P、Q两点，过P、Q两点分别作椭圆E的切线l1，l2，且l1与l2交于点R，试问：当m变化时，点R是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，说明理由．
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
π
2
【考点】直线与圆锥曲线的综合．
【答案】（Ⅰ）．
（Ⅱ）当m变化时，点R恒在一条定直线x=上．
证明：先证明椭圆E：（a＞b＞0）上一点M（x0，y0）的切线方程是，
当x0y0≠0时，设切线方程为：y-y0=k（x-x0），
与椭圆方程联立并整理，得：
（b2+a2k2）x2+2a2k（y0-kx0）x+a2（y0-kx0）2-a2b2=0，
由Δ=0及，得（）2=0，
∴k=-，
∴切线方程是
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则l1的方程是，
l2的方程是，
联立方程组，解得x=，
又∵x1=my1+c，x2=my2+1，
∴x1y2-x2y1=（my1+c）y2-（my2+c）y1=c（y2-y1），
∴=，当m变化时，点R恒在一条定直线上，
2
2
（Ⅱ）当m变化时，点R恒在一条定直线x=
a
2
c
证明：先证明椭圆E：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
x
0
x
a
2
+
y
0
y
b
2
=
1
当x0y0≠0时，设切线方程为：y-y0=k（x-x0），
与椭圆方程联立并整理，得：
（b2+a2k2）x2+2a2k（y0-kx0）x+a2（y0-kx0）2-a2b2=0，
由Δ=0及
x
0
2
a
2
+
y
0
2
b
2
=
1
a
y
0
b
k
+
b
x
0
a
∴k=-
b
2
x
0
a
2
y
0
∴切线方程是
x
0
x
a
2
+
y
0
y
b
2
=
1
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则l1的方程是
x
1
x
a
2
+
y
1
y
b
2
=
1
l2的方程是
x
2
x
a
2
+
y
2
y
b
2
=
1
联立方程组，解得x=
a
2
（
y
2
-
y
1
）
x
1
y
2
-
x
2
y
1
又∵x1=my1+c，x2=my2+1，
∴x1y2-x2y1=（my1+c）y2-（my2+c）y1=c（y2-y1），
∴
x
R
=
a
2
（
y
2
-
y
1
）
x
1
y
2
-
x
2
y
1
a
2
c
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：54引用：3难度：0.1
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（a＞0，b＞0）上，已知PF1⊥PF2，|PF1|=2|PF2|，O为坐标原点．E：x2a2-y2b2=1
（Ⅰ）求双曲线的离心率e；
（Ⅱ）过点P作直线分别与双曲线渐近线相交于P1，P2两点，且，OP1•OP2=-274，求双曲线E的方程；2PP1+PP2=0
（Ⅲ）若过点Q（m,0）（m为非零常数）的直线l与（2）中双曲线E相交于不同于双曲线顶点的两点M、N，且（λ为非零常数），问在x轴上是否存在定点G，使MQ=λQN？若存在，求出所有这种定点G的坐标；若不存在，请说明理由．F1F2⊥（GM-λGN）发布：2024/12/29 10:0:1组卷：72引用：5难度：0.7 -
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