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在复习菱形的判定方法时，某同学进行了画图探究，其作法和图形如下：
①画线段AB；
②分别以点A，B为圆心，大于AB长的一半为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN交AB于点O；
③在直线MN上取一点C（不与点O重合），连接AC，BC；
④过点A作平行于BC的直线AD，交直线MN于点D，连接BD．
（1）根据以上作法，证明四边形ADBC是菱形，请补全其证明过程．
证明：根据作法可知：直线MN是AB的垂直平分线，
∴AC=BC，OA=OB，MN⊥AB，
∵AD∥BC，
∴∠ADO=∠BCO∠ADO=∠BCO
在△ADO和△BCO中，
∠ADO=∠BCO ∠AOD=∠BOC OA=OB
∴△ADO≌△BCO（AAS），
∴OD=OC，
∵OA=OB，
∴四边形ABCD为平行四边形，四边形ABCD为平行四边形，
∵AC=BCAC=BC
∴四边形ADBC是菱形
（2）该同学在图形上继续探究，他以点O为圆心作四边形ADBC的内切圆，构成如图所示的阴影部分，若AB=23，∠BAD=30°，求图中阴影部分的面积．
∠ ADO =∠ BCO |
∠ AOD =∠ BOC |
OA = OB |
3
【答案】∠ADO=∠BCO；四边形ABCD为平行四边形，；AC=BC
【解答】
【点评】
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发布：2024/11/22 8:0:1组卷：131引用：1难度：0.6
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1．阅读下列材料，完成相应任务．
已知：如图，线段m,∠MON．求作：∠MON的平分线OP．
作法：
①以点O为圆心，以线段m的长为半径作弧，分别交OM、ON于点A、B；
②分别作线段OA、OB的中垂线，两条中垂线交于点P；
③作射线OP．
则射线OP就是所求作的∠MON平分线．
（1）任务一：请你使用无刻度的直尺和圆规，依上述作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）任务二：根据上述作法，证明射线OP就是所求作的∠MON平分线．发布：2025/6/5 8:30:1组卷：25引用：1难度：0.5 -
2．只用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹，不要求写作法）．
（1）如图1，已知∠AOB，OA=OB．点E在OB边上，其中四边形AEBF是平行四边形，请你在图中画出∠AOB的平分线．
（2）如图2，已知E是菱形ABCD中AB边上的中点，请作出AD边上的中点F．发布：2025/6/5 9:0:1组卷：269引用：3难度：0.5 -
3．下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程．
已知：四边形ABCD是平行四边形．
求作：菱形ABEF（点E在BC上，点F在AD上）．
作法：①以A为圆心，AB长为半径作弧，交AD于点F；②以B为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点E；③连接EF．所以四边形ABEF为所求的菱形．
（1）根据小明设计的尺规作图过程，使用直尺和圆规，补全图形（要求使用0.5黑色签字笔保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵AF=AB，BE=AB，
∴=．
在▱ABCD中，AD∥BC，即AFBE．∥
∴四边形ABEF为平行四边形．（ ）（填推理的依据）
∵AF=AB，
∴四边形ABEF为菱形．（ ）（填推理的依据）发布：2025/6/5 8:30:1组卷：76引用：4难度：0.5
