已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为32，其左、右焦点分别为F1，F2，点P为坐标平面内的一点，且|OP|=32，PF1•PF2=-34，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M为椭圆C的左顶点，A，B是椭圆C上两个不同的点，直线MA，MB的倾斜角分别为α，β，且α+β=π2；证明：直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标．
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
3
2
OP
3
2
P
F
1
P
F
2
3
4
π
2
【答案】（1）+y2=1；
（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意可得M（-2，0），
若直线AB的斜率不存在，即x1=x2，y1=-y2，由题意可得直线MA，MB的斜率大于0，即y1y2＞0，矛盾；
因此直线BA的斜率存在，设其方程为y=kx+m．联立椭圆方程x2+4y2=4，化为：（1+4k2）x2+8kmx+4（m2-1）=0，
∴Δ=64k2m2-16（1+4k2）（m2-1）＞0，化为：1+4k2＞m2．
∴x1+x2=-，x1x2=．由α+β=，可得tanα•tanβ=1，
∴•=1，
∴（kx1+m）（kx2+m）=（x1+2）（x2+2），化为：（k2-1）x1x2+（mk-2）（x1+x2）+m2-4=0，
∴（k2-1）•+（mk-2）（-）+m2-4=0，
化为3m2-16km+20k2=0，解得m=2k，或m=k．
∴直线AB的方程可以表示为y=kx+2k（舍去），或y=kx+k，
则直线AB恒过定点（-，0）．
x
2
4
（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意可得M（-2，0），
若直线AB的斜率不存在，即x1=x2，y1=-y2，由题意可得直线MA，MB的斜率大于0，即y1y2＞0，矛盾；
因此直线BA的斜率存在，设其方程为y=kx+m．联立椭圆方程x2+4y2=4，化为：（1+4k2）x2+8kmx+4（m2-1）=0，
∴Δ=64k2m2-16（1+4k2）（m2-1）＞0，化为：1+4k2＞m2．
∴x1+x2=-
8
km
1
+
4
k
2
4
（
m
2
-
1
）
1
+
4
k
2
π
2
∴
y
1
x
1
+
2
y
2
x
2
+
2
∴（kx1+m）（kx2+m）=（x1+2）（x2+2），化为：（k2-1）x1x2+（mk-2）（x1+x2）+m2-4=0，
∴（k2-1）•
4
（
m
2
-
1
）
1
+
4
k
2
8
km
1
+
4
k
2
化为3m2-16km+20k2=0，解得m=2k，或m=
10
3
∴直线AB的方程可以表示为y=kx+2k（舍去），或y=kx+
10
3
则直线AB恒过定点（-
10
3
【解答】
【点评】
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