已知等边三角形ABC，过A点作AC的垂线l,P为l上一动点（不与点A重合），连接CP，将线段CP绕点C逆时针旋转60°得到CQ，连接QB．
（1）如图1，直接写出线段AP与BQ的数量关系；
（2）如图2，当点P，B在AC同侧，连接PB并延长，与CQ交于点D，若AP=AC，求证：线段PD垂直平分CQ；
（3）如图3，某地河堤路l旁有一边长为4的等边三角形花圃ABC，且AC边垂直于路l,市政部门计划在河堤路另一侧修建一个三角形的观景平台APQ，要求点P，B分别位于AC边的异侧，连接CP，将线段CP绕点C逆时针旋转60°得到CQ，再连接AQ和PQ，若三角形观景平台APQ的面积等于34，求此时AP的长度．
3
4
【考点】三角形综合题．
【答案】（1）见解析过程；
（2）见解析过程；
（3）AP的值为．
（2）见解析过程；
（3）AP的值为
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【解答】
【点评】
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发布：2025/5/23 6:0:2组卷：100引用：1难度：0.3
相似题
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1．如图1，在△ABC中，∠ABC=45°，AD⊥BC于点D，在DA上取点E，使DE=DC，连接BE、CE．
（1）直接写出CE与AB的位置关系；
（2）如图2，将△BED绕点D旋转，得到△B′E′D（点B′、E′分别与点B、E对应），连接CE′、AB′，在△BED旋转的过程中CE′与AB′的位置关系与（1）中的CE与AB的位置关系是否一致？请说明理由；
（3）如图3，当△BED绕点D顺时针旋转30°时，射线CE′与AD、AB′分别交于点G、F，若CG=FG，DC=，求AB′的长．3
发布：2025/5/23 10:30:1组卷：2883引用：18难度：0.3 -
2．阅读与思考：
尺规作图：已知点P是直线MN外一点，求作一条直线PQ，使PQ⊥MN．
小明的作法：如图1，①在直线MN上任找一点A，连接PA（PA与MN的夹角小于90°）；
②以点P为圆心，PA的长为半径画弧交直线MN于另一交点为B，连接PB；
③作∠APB的平分线PQ，反向延长射线PQ，则直线PQ⊥MN．
小华的作法：如图2，①在直线MN上任找一点A，连接PA（PA与MN的夹角小于90°）；
②以点P为圆心，PA的长为半径画弧交直线MN于另一交点为B；
③分别以A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在直线MN的下方相交于点Q；作直线PQ，则PQ⊥MN．12AB
任务：
（1）由小明的作图过程可知，在△PAB中有PA=PB，因为PQ平分∠APB，所以有PQ⊥MN，这一步的依据是 ．（填序号）
①角平分线上的点到角两边的距离相等；
②等腰三角形顶角平分线也是底边上的高．
（2）你认为小华得到的结论是否正确？若正确，请利用三角形全等的方法证明；若不正确，说明理由．
（3）如图3，点O是等腰直角△ABC斜边AB的中点，点P是边AB上一动点（不与点O重合），连接CP．分别以A，B为圆心，以CP的长为半径画弧，两弧在△ABC外相交于点Q，连接AQ，OQ，当∠OPC=60°时有OQ=1，请直接写出线段AP的长度．发布：2025/5/23 9:0:2组卷：248引用：1难度：0.3 -
3．如图，在△ABC中，AB=AC，D为三角形内一点，若∠BAC=30°，∠ADB=135°，∠BDC=105°，BD=2，则AD的长为 ．发布：2025/5/23 10:0:1组卷：366引用：6难度：0.3
