已知F₁、F₂是双曲线
C
：
x
2
-
y
2
15
=
1
的两个焦点，若离心率等于
4
5
的椭圆E与双曲线C的焦点相同．
（1）求椭圆E的方程；
（2）如果动点P（m,n）满足|PF₁|+|PF₂|=10，曲线M的方程为：
x
2
2
+
y
2
2
=
1
．判断直线l：mx+ny=1与曲线M的公共点的个数，并说明理由；当直线l与曲线M相交时，求直线l：mx+ny=1截曲线M所得弦长的最大值．

【答案】（1）

；
（2）直线l：mx+ny=1与曲线M有两个公共点．
理由是：
∵动点P（m，n）满足|PF₁|+|PF₂|=10，∴P（m，n）是椭圆E上的点，
∴

，∴

，0≤m²≤25
∵曲线M是圆心为（0，0），半径为

的圆
圆心（0，0）到直线l：mx+ny-1=0的距离

≤

＜

∴直线l：mx+ny=1与曲线M有两个公共点．
设直线l：mx+ny=1截曲线M所得弦长t，

在0≤m²≤25上递增
∴当m²=25，m=±5，n=0，即

：

=±

时，t最大为

．

【解答】

【点评】

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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：42引用：1难度：0.1

相似题

1．点P在以F₁，F₂为焦点的双曲线
E
：
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=
1
（a＞0，b＞0）上，已知PF₁⊥PF₂，|PF₁|=2|PF₂|，O为坐标原点．
（Ⅰ）求双曲线的离心率e；
（Ⅱ）过点P作直线分别与双曲线渐近线相交于P₁，P₂两点，且
O
P
1
•
O
P
2
=
-
27
4
，
2
P
P
1
+
P
P
2
=
0
，求双曲线E的方程；
（Ⅲ）若过点Q（m,0）（m为非零常数）的直线l与（2）中双曲线E相交于不同于双曲线顶点的两点M、N，且
MQ
=
λ
QN
（λ为非零常数），问在x轴上是否存在定点G，使
F
1
F
2
⊥
（
GM
-
λ
GN
）
？若存在，求出所有这种定点G的坐标；若不存在，请说明理由．
发布：2024/12/29 10:0:1组卷：72引用：5难度：0.7
解析
2．已知两个定点坐标分别是F₁（-3，0），F₂（3，0），曲线C上一点任意一点到两定点的距离之差的绝对值等于2
5
．
（1）求曲线C的方程；
（2）过F₁（-3，0）引一条倾斜角为45°的直线与曲线C相交于A、B两点，求△ABF₂的面积．
发布：2024/12/29 10:30:1组卷：97引用：1难度：0.9
解析
3．若过点（0，-1）的直线l与抛物线y²=2x有且只有一个交点，则这样的直线有（　　）条．
A．1 B．2 C．3 D．4
发布：2024/12/29 10:30:1组卷：26引用：5难度：0.7
解析

2．已知两个定点坐标分别是F1（-3，0），F2（3，0），曲线C上一点任意一点到两定点的距离之差的绝对值等于25．（1）求曲线C的方程；（2）过F1（-3，0）引一条倾斜角为45°的直线与曲线C相交于A、B两点，求△ABF2的面积．