已知点P（2，1）在椭圆C：x28+y2b2=1上．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若直线l：x-2y+m=0（m≠0）与椭圆C交于两个不同的点A，B，直线PA，PB与x轴分别交于M，N两点，求证：|PM|=|PN|．
x
2
8
+
y
2
b
2
【考点】直线与椭圆的综合．
【答案】（1）．
（2）将直线l：x-2y+m=0（m≠0）代入椭圆方程得，
2x2+2mx+m2-8=0，
∵直线l：x-2y+m=0（m≠0）与椭圆C交于两个不同的点A，B，
∴Δ=4m2-8（m2-8）＞0，
解得-4＜m＜0，或0＜m＜4，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2=-m，x1 x2=，y1=，y2=，
设PA与PB的斜率分别为k1，k2，
∴k1+k2=
=
=
=
=0，
因为k1+k2=0，
∴∠PMN=∠PNM，
所以|PM|=|PN|
3
2
（2）将直线l：x-2y+m=0（m≠0）代入椭圆方程
x
2
8
+
y
2
2
=
1
2x2+2mx+m2-8=0，
∵直线l：x-2y+m=0（m≠0）与椭圆C交于两个不同的点A，B，
∴Δ=4m2-8（m2-8）＞0，
解得-4＜m＜0，或0＜m＜4，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2=-m，x1 x2=
m
2
-
8
2
x
1
+
m
2
x
2
+
m
2
设PA与PB的斜率分别为k1，k2，
∴k1+k2=
y
1
-
y
1
x
1
+
y
2
-
1
x
2
=
（
x
1
+
m
2
-
1
）
（
x
2
-
2
）
+
（
x
2
+
m
2
-
1
）
（
x
1
-
2
）
（
x
2
-
2
）
=
2
x
1
x
2
+
（
m
-
4
）
（
x
1
+
x
2
）
-
4
（
m
-
2
）
2
（
x
1
-
2
）
（
x
2
-
2
）
=
m
2
-
8
-
m
2
+
4
m
-
4
m
+
8
2
（
x
1
-
2
）
（
x
2
-
2
）
=0，
因为k1+k2=0，
∴∠PMN=∠PNM，
所以|PM|=|PN|
【解答】
【点评】
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发布：2024/4/20 14:35:0组卷：10引用：1难度：0.5
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