如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A、B两点，A（-1，0），B（4，0），与y轴交于点C，连接AC、BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）判断△ABC的形状，并证明；
（3）点P在抛物线上，且∠PCB=∠ABC，求点P的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）抛物线的解析式为y=-x2+x+2；
（2）△ABC是直角三角形；
（3）点P的坐标为（3，2）或（，-）．
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（2）△ABC是直角三角形；
（3）点P的坐标为（3，2）或（
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【解答】
【点评】
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发布：2024/4/20 14:35:0组卷：140引用：1难度：0.3
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1．综合与探究．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A（-1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，过点C作AB的平行线，交抛物线于点D，P为抛物线上一动点，过点P作直线CD的垂线，垂足为E，与x轴交于点F，设点P的横坐标为m.
（1）求抛物线的函数表达式及点D的坐标；
（2）当m＜-1，且时，探究四边形ABDE能否成为平行四边形，并说明理由；EFPF=23
（3）当m＞0时，连接AC，PC，抛物线上是否存在点P，使∠PCE与∠BAC互余？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．发布：2025/5/25 3:30:2组卷：134引用：1难度：0.2 -
2．如图，一次函数y=-x-4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A、C，与x轴另一交点为B，其对称轴交x轴于D．12
（1）求二次函数的表达式．
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点N，使得∠ANB=45°．若存在，求出N点坐标，若不存在，请说明理由．发布：2025/5/25 3:30:2组卷：410引用：2难度：0.1 -
3．在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+1（a≠0）经过点A（2，1），顶点为点B．
（1）用含a的代数式表示b；
（2）若a＞0，设抛物线y=ax2+bx+1（a≠0）的对称轴为直线l,过A作AM⊥l于点M，且MB=2AM，当m-2≤x≤m时，抛物线的最高点的纵坐标为17，求m的值；
（3）若点C的坐标为（-5，-1），将点C向右平移9个单位长度得到点D，当抛物线y=ax2+bx+1（a≠0）与线段CD有两个交点时，直接写出a的取值范围．发布：2025/5/25 3:30:2组卷：176引用：2难度：0.2
