综合与探究
如图，抛物线y=12x2+bx+c与x轴交于点A（-1，0）和点B（4，0），与y轴交于点C，连接BC．
（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；
（2）点P是抛物线对称轴上一点，点Q为平面内一点，当以点B、C、P、Q为顶点的四边形是以BC为边的矩形时，请直接写出点P的坐标；
（3）点D是第四象限内抛物线上一动点，当∠BCD=2∠ABC时，求点D的坐标．
y
=
1
2
x
2
+
bx
+
c
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）；C（0，-2）；
（2），；
（3）D（2，-3）．
y
=
1
2
x
2
-
3
2
x
-
2
（2）
P
1
（
3
2
，
5
）
P
2
（
3
2
，-
5
）
（3）D（2，-3）．
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：161引用：1难度：0.4
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1．如图，抛物线y=ax2-3ax+b与直线AB交于A（-2，
）、B（4，0）两点，点C是此抛物线上的一个动点，过点C作CD⊥x轴，交直线AB于点D．32
（1）求此抛物线的解析式；
（2）如图①，当点C在直线AB下方的抛物线上运动时，请求出线段CD长度的最大值；
（3）如图②，以D为圆心，CD的长为半径作⊙D．当⊙D与x轴相切时，请直接写出点C的横坐标．
发布：2025/6/17 22:30:1组卷：63引用：1难度：0.2 -
2．如图，抛物线y=（x+2）（x-8）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为M，以AB为直径作⊙D．下列结论：①抛物线的对称轴是直线x=3；②⊙D的面积为16π；③抛物线上存在点E，使四边形ACED为平行四边形；④直线CM与⊙D相切．其中正确结论的个数是（ ）14发布：2025/6/17 18:30:1组卷：2558引用：19难度：0.7 -
3．已知：如图，抛物线y=ax2+4x+c经过原点O（0，0）和点A（3，3），P为抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为B（m,0），并与直线OA交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在直线OA上方时，求线段PC的最大值；
（3）过点A作AD⊥x轴于点D，在抛物线上是否存在点P，使得以P、A、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．
发布：2025/6/17 18:0:1组卷：2088引用：13难度：0.2
