已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=ax2-5ax+c过点M（4，4）．
（1）求c与a的关系；
（2）当c2=25时，平移抛物线C得到新的抛物线C′，使得抛物线C′仍然过点M，并且对于C′上任意的两点T（x1，y1），S（x2，y2），当x1＞x2＞0时，总有y1-y2x1-x2＞0，当x2＜x1＜0时，总有y1-y2x1-x2＜0．
①求抛物线C′的解析式；
②若A，B是抛物线C′上两个不同的点，记直线AM：y=k1x+b1，直线BM：y=k2x+b2，直线AB：y=kx+b,当k1+k2=0时，求证：k为定值．
y
1
-
y
2
x
1
-
x
2
y
1
-
y
2
x
1
-
x
2
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）c=4a+4；
（2）①y=；
②k=-2．
（2）①y=
1
4
x
2
②k=-2．
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：237引用：1难度：0.4
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1．在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴的两个交点分别为A（-3，0）、B（1，0），过顶点C作CH⊥x轴于点H．
（1）直接填写：a=，b=，顶点C的坐标为；
（2）在y轴上是否存在点D，使得△ACD是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由．发布：2025/6/17 23:30:2组卷：163引用：1难度：0.4 -
2．如图，在平面直角坐标系中，有抛物线y=ax2+bx+3，已知OA=OC=3OB，动点P在过A、B、C三点的抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求过A、B、C三点的圆的半径；
（3）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标，若不存在，说明理由；
（4）过动点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．发布：2025/6/18 12:30:1组卷：410引用：2难度：0.3 -
3．如图，抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与A重合），过点P作PD∥y轴交直线AC于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；
（3）△APD能否构成直角三角形？若能，请直接写出所有符合条件的点P坐标；若不能，请说明理由．发布：2025/6/18 0:30:4组卷：1978引用：7难度：0.2
