在平面直角坐标系xOy中，动点P与定点F（2，0）的距离和它到定直线l：x=32的距离之比是常数233，记P的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）设过点A（3，0）两条互相垂直的直线分别与曲线E交于点M，N（异于点A），求证：直线MN过定点．
x
=
3
2
2
3
3
3
【答案】（1）．
（2）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2），
当直线MN斜率不存在，直线AM，AN分别为，，
分别联立，解得M（，），N（，-），
此时直线MN的方程为，过点（，0）；
当直线MN斜率存在时设其方程为y=kx+m，（）
由
，消去y得（1-3k2）x2-6kmx-3m2-3=0，
所以Δ=（-6km）2-4（1-3k2）（-3m23）＞0，即m2+1-3k2＞0，
，，
因为AM⊥AN，
所以，即，
即，
即，
将，代入化简得：，
所以或，
当时，直线MN方程为（不符合题意舍去），
当时，直线MN方程为，MN恒过定点（，0），
综上所述直线MN过定点（，0）．
x
2
3
-
y
2
=
1
（2）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2），
当直线MN斜率不存在，直线AM，AN分别为
y
=
x
-
3
y
=
-
x
+
3
分别联立
x
2
3
-
y
2
=
1
2
3
3
2
3
3
此时直线MN的方程为
x
=
2
3
2
3
当直线MN斜率存在时设其方程为y=kx+m，（
k
≠±
3
3
由
x 2 3 - y 2 = 1 |
y = kx + m |
所以Δ=（-6km）2-4（1-3k2）（-3m23）＞0，即m2+1-3k2＞0，
x
1
+
x
2
=
6
km
1
-
3
k
2
x
1
x
2
=
-
3
m
2
-
3
1
-
3
k
2
因为AM⊥AN，
所以
k
AM
•
k
AN
=
y
1
x
1
-
3
•
y
2
x
2
-
3
=
-
1
y
1
y
2
=
-
（
x
1
-
3
）
（
x
2
-
3
）
即
（
k
x
1
+
m
）
（
k
x
2
+
m
）
=
-
（
x
1
-
3
）
（
x
2
-
3
）
即
k
2
x
1
x
2
+
km
（
x
1
+
x
2
）
+
m
2
=
x
1
x
2
+
3
（
x
1
+
x
2
）
-
3
将
x
1
+
x
2
=
6
km
1
-
3
k
2
x
1
x
2
=
-
3
m
2
-
3
1
-
3
k
2
m
2
+
3
3
km
+
6
k
2
=
0
所以
m
=
-
3
k
m
=
-
2
3
k
当
m
=
-
3
k
y
=
kx
-
3
k
当
m
=
-
2
3
k
y
=
k
（
x
-
2
3
）
2
3
综上所述直线MN过定点（
2
3
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：492引用：3难度：0.6
