如图，在平面直角坐标系xOy中，设点M（x₀，y₀）是椭圆C：
x
2
16
+
y
2
4
=1上一点，从原点O向圆M：（x-x₀）²+（y-y₀）²=r²作两条切线，分别与椭圆C交于点P，Q，直线OP，OQ的斜率分别记为k₁，k₂．
（1）若圆M与x轴相切于椭圆C的右焦点，求圆M的方程；
（2）若r=
4
5
5
，求证：k₁k₂=-
1
4
；
（3）在（2）的情况下，求|OP|•|OQ|的最大值．

【答案】（1）（x-2

）²+（y±1）²=1；
（2）证明见解答；
（3）10．

【解答】

【点评】

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x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1（a＞0，b＞0）的左，右顶点分别是A₁，A₂，圆x²+y²=a²与C的渐近线在第一象限的交点为M，直线A₁M交C的右支于点P，若△MPA₂是等腰三角形，且∠PA₂M的内角平分线与y轴平行，则C的离心率为（　　）
A．2 B．
2
C．
3
D．
5
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2
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1
2
] D．（0，
2
2
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