已知函数f（x）=a（x-1）x2，其中a＞0．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若直线x-y-1=0是曲线y=f（x）的切线，求实数a的值；
（Ⅲ）设g（x）=xlnx-x2f（x），求g（x）在区间[1，e]的最大值．（其中e为自然对数底数）
（Ⅳ）若g（x）=xlnx-x2f（x）≥0恒成立，求a的值．
a
（
x
-
1
）
x
2
【答案】（Ⅰ）函数在（0，2）上递增，在（-∞，0）和（2，+∞）上递减；
（Ⅱ）所求实数a的值为1；
（Ⅲ）当a＜1时，最大值为g（e）=a+e（1-a），当＜a＜2时，最大值为g（1）=0，
当1＜a＜时，最大值为g（e）=a+e（1-a），当a＞2时，最大值为g（1）=0；
（Ⅳ）a=1．
（Ⅱ）所求实数a的值为1；
（Ⅲ）当a＜1时，最大值为g（e）=a+e（1-a），当
e
e
-
1
当1＜a＜
e
e
-
2
（Ⅳ）a=1．
【解答】
【点评】
声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。
发布：2024/6/27 10:35:59组卷：66引用：1难度：0.2
相似题
-
1．已知函数
，若关于x的不等式f（x）=ln2+x2-x+1对任意x∈（0，2）恒成立，则实数k的取值范围（ ）f（kex）+f（-12x）＞2发布：2025/1/5 18:30:5组卷：299引用：2难度：0.4 -
2．已知函数f（x）=
．ex-ax21+x
（1）若a=0，讨论f（x）的单调性．
（2）若f（x）有三个极值点x1，x2，x3．
①求a的取值范围；
②求证：x1+x2+x3＞-2．发布：2024/12/29 13:0:1组卷：200引用：2难度：0.1 -
3．已知函数f（x）=ax3+x2+bx（a,b∈R）的图象在x=-1处的切线斜率为-1，且x=-2时，y=f（x）有极值．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在[-3，2]上的最大值和最小值．发布：2024/12/29 12:30:1组卷：48引用：4难度：0.5
