已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为

1

2

，右焦点到右顶点的距离为1．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）是否存在与椭圆C交于A，B两点的直线l：y=kx+m（k∈R），使得|

OA

+2

OB

|=|

OA

-2

OB

|成立？若存在，求出实数m的取值范围，若不存在，请说明理由．

【考点】直线与圆锥曲线的综合．

【答案】（1）．
（2）存在直线l，使得||=||成立．理由如下：
设直线l的方程为y=kx+m，
由 得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．
Δ=（8km）²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，化简得3+4k²＞m²．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
，．
若||=||成立，
即||²=||²，等价于．
所以x₁x₂+y₁y₂=0．
x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=0，
（1+k²）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=0，
（1+k²）•，
化简得7m²=12+12k²．
将代入3+4k²＞m²中，3+4（）＞m²，
解得．
又由7m²=12+12k²≥12，得，
从而，解得或．
所以实数m的取值范围是．