设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，A（x0，y0）（x0≠0）是抛物线C上的一定点．
（1）已知直线l过抛物线C的焦点F，且与C的对称轴垂直，l与C交于Q，R两点，S为C的准线上一点，若△QRS的面积为4，求p的值；
（2）过点A作倾斜角互补的两条直线AM，AN，与抛物线C的交点分别为M（x1，y1），N（x2，y2）．若直线AM，AN的斜率都存在，证明：直线MN的斜率等于抛物线C在点A关于对称轴的对称点A1处的切线的斜率．
【考点】直线与圆锥曲线的综合．
【答案】（1）p=2．
（2）证明：由题意A1（-x0，y0）
首先求抛物线C在点A关于对称轴的对称点A1处的切线的斜率．
设抛物线在A1处的切线的斜率为k，则其方程为y=k（x+x0）+y0
联立
，消去y得x2-2pkx-2px0k-2py0=0
将代入上式得：
即，即，得．
即抛物线C在点A关于对称轴的对称点A1处的切线的斜率为．
（2）证明：由题意A1（-x0，y0）
首先求抛物线C在点A关于对称轴的对称点A1处的切线的斜率．
设抛物线在A1处的切线的斜率为k，则其方程为y=k（x+x0）+y0
联立
y = k （ x + x 0 ） + y 0 |
x 2 = 2 py |
将
2
p
y
0
=
x
0
2
x
2
-
2
pkx
-
2
p
x
0
k
-
x
0
2
=
0
Δ
=
（
-
2
pk
）
2
+
4
（
2
p
x
0
k
+
x
0
2
）
=
0
即
p
2
k
2
+
2
p
x
0
k
+
x
0
2
=
0
（
pk
+
x
0
）
2
=
0
k
=
-
x
0
p
即抛物线C在点A关于对称轴的对称点A1处的切线的斜率为
-
x
0
p
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：30引用：3难度：0.5
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．5
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