已知函数f（x）=lnx+ax²，g（x）=

1

x

+x+b,且直线y=-

1

2

是函数f（x）的一条切线．
（1）求a的值；
（2）对任意的x₁∈[1，

e

]，都存在x₂∈[1，4]，使得f（x₁）=g（x₂），求b的取值范围
（3）已知方程f（x）=cx有两个根x₁，x₂（x₁＜x₂），若g（x₁+x₂）+2c=0，求证：b＜0．