我们知道，三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，如何证明三角形中位线定理呢？
（1）【方法回顾】
证明：三角形中位线定理．
已知：如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点．
求证：DE∥BC，DE=12BC．
证明三角形中位线性质定理的方法很多，但多数都需要通过添加辅助线构图去完成，下面是其中一种证法的添加辅助线方法，阅读并完成填空：
添加辅助线，如图1，在△ABC中，过点C作CF∥AB，与DE的延长线交于点F．可证△ADE≌△CFE△CFE，根据全等三角形对应边相等可得DE=EF，然后判断出四边形BCFD是 平行四边形平行四边形，根据图形性质可证得DE∥BC，DE=12BC．
（2）【方法迁移】
如图2，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，∠D=120°，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若AG=3，DF=4，∠GEF=90°，求GF的长．
（3）【定理应用】
如图3，在△ABC中，AB=AC，D是AC的中点，G是边BC上一点，CGBG=K（K＞1），延长BC至点E，使DE=DG，延长ED交AB于点F，直接写出ABAF的值（用含K的式子表示）．
DE
=
1
2
BC
DE
=
1
2
BC
AG
=
3
CG
BG
=
K
（
K
＞
1
）
AB
AF
【考点】相似形综合题．
【答案】△CFE；平行四边形
【解答】
【点评】
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发布：2024/4/28 8:51:19组卷：583引用：3难度：0.3
相似题
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1．已知四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G．
问题发现：
（1）①如图1，若四边形ABCD是正方形，且DE⊥CF于G，则=；DECF
②如图2，当四边形ABCD是矩形时，且DE⊥CF于G，AB=m,AD=n,则=；DECF
拓展研究：
（2）如图3，若四边形ABCD是平行四边形，且∠B+∠EGC=180°时，求证：；DECF=ADCD
解决问题：
（3）如图4，若BA=BC=5，DA=DC=10，∠BAD=90°，DE⊥CF于G，请直接写出的值．DECF
发布：2025/5/23 23:30:1组卷：2292引用：6难度：0.3 -
2．[问题情境]
（1）王老师给爱好学习的小明和小颖提出这样一个问题：如图①，在△ABC中，AB=AC，P为边BC上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D，E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．求证：PD+PE=CF．
小明的证明思路是：
如图②，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE=CF．
小颖的证明思路是：
如图②，过点P作PG⊥CF，垂足为G，可以证得：PD=GF，PE=CG，则PD+PE=CF．
请你选择小明、小颖两种证明思路中的任意一种，写出详细的证明过程．
[变式探究]（2）如图③，当点P在BC延长线上时，问题情境中，其余条件不变，求证：PD-PE=CF．
[结论运用]（3）如图④，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C'处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PG⊥BE，PH⊥BG，垂足分别为G，H，若AD=8，CF=3，求PG+PH的值．
[迁移拓展]（4）图⑤是一个机器模型的截面示意图，在四边形ABCD中，E为AB边上的一点，ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分别为D，C，且AD•CE=DE•BC，AB=2cm,AD=3cm,BD=13cm,MN分别为AE，BE的中点，连接DM，CN，请直接写出△DEM与△CEN的周长之和．37
发布：2025/5/24 0:30:1组卷：278引用：1难度：0.1 -
3．在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，F是对角线AC上不与点A，C重合的一点，过F作FE⊥AD于E，将△AEF沿EF翻折得到△GEF，点G在射线AD上，连接CG．
（1）如图1，若点A的对称点G落在AD上，∠FGC=90°，延长GF交AB于H，连接CH．
①求证：△CDG∽△GAH；
②求tan∠GHC．
（2）如图2，若点A的对称点G落在AD延长线上，∠GCF=90°，判断△GCF与△AEF是否全等，并说明理由．
发布：2025/5/23 23:0:1组卷：1132引用：5难度：0.3
