设F1，F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为椭圆上的任意一点，满足|PF1|+|PF2|=8，△PF1F2的周长为12．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求PF1•PF2的最大值和最小值；
（Ⅲ）已知点A（8，0），B（2，0），是否存在过点A的直线l与椭圆交于不同的两点C，D，使得|BC|=|BD|？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．
x
2
a
2
+
y
2
b
2
P
F
1
P
F
2
【考点】直线与圆锥曲线的综合；椭圆的标准方程．
【答案】（1）；
（2）有最小值8；有最大值12．
（3）当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆无交点，所以直线l的斜率存在，不妨设为k，则直线l的方程为y=k（x-8）
由方程组
，消元得（4k2+3）x2-64k2x+16（16k2-3）=0
∵过点A的直线l与椭圆交于不同的两点C，D，
∴Δ=642k4-64（4k2+3）（16k2-3）＞0
∴
设交点C（x1，y1），D（x2，y2），CD的中点为T（x0，y0）
∴x1+x2=，，
∴T（）
∵|BC|=|BD|，∴BT⊥CD
∵
∴，方程无解
∴不存在过点A的直线l与椭圆交于不同的两点C，D，使得|BC|=|BD|．
x
2
16
+
y
2
12
=
1
（2）
P
F
1
•
P
F
2
P
F
1
•
P
F
2
（3）当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆无交点，所以直线l的斜率存在，不妨设为k，则直线l的方程为y=k（x-8）
由方程组
y = k （ x - 8 ） |
x 2 16 + y 2 12 = 1 |
∵过点A的直线l与椭圆交于不同的两点C，D，
∴Δ=642k4-64（4k2+3）（16k2-3）＞0
∴
-
1
2
＜
k
＜
1
2
设交点C（x1，y1），D（x2，y2），CD的中点为T（x0，y0）
∴x1+x2=
64
k
2
4
k
2
+
3
x
0
=
x
1
+
x
2
2
=
32
k
2
4
k
2
+
3
y
0
=
k
（
x
0
-
5
）
=
-
24
k
4
k
2
+
3
∴T（
32
k
2
4
k
2
+
3
，
-
24
k
4
k
2
+
3
∵|BC|=|BD|，∴BT⊥CD
∵
k
BT
=
-
24
k
4
k
2
+
3
32
k
2
4
k
2
+
3
-
2
=
-
24
k
24
k
2
-
6
∴
k
•
k
BT
=
-
24
k
2
24
k
2
-
6
=
-
1
∴不存在过点A的直线l与椭圆交于不同的两点C，D，使得|BC|=|BD|．
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：147引用：5难度：0.3
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（a＞0，b＞0）上，已知PF1⊥PF2，|PF1|=2|PF2|，O为坐标原点．E：x2a2-y2b2=1
（Ⅰ）求双曲线的离心率e；
（Ⅱ）过点P作直线分别与双曲线渐近线相交于P1，P2两点，且，OP1•OP2=-274，求双曲线E的方程；2PP1+PP2=0
（Ⅲ）若过点Q（m,0）（m为非零常数）的直线l与（2）中双曲线E相交于不同于双曲线顶点的两点M、N，且（λ为非零常数），问在x轴上是否存在定点G，使MQ=λQN？若存在，求出所有这种定点G的坐标；若不存在，请说明理由．F1F2⊥（GM-λGN）发布：2024/12/29 10:0:1组卷：72引用：5难度：0.7 -
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