已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式和顶点D的坐标．
（2）已知点P是x轴上的一点，连接DP．
①如图1，当点P在线段AB上时，以DP为底边向右侧作等腰Rt△DPQ，若点Q恰好在抛物线上，求点Q的横坐标；
②如图2，作点P关于直线BC的对称点P'，连接DP'，PP'，当△DPP'是直角三角形时，求点P的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）y=-x2+2x+3，顶点坐标（1，4）；
（2）①；
②（1，0），（5，0），．
（2）①
x
Q
=
17
+
1
2
②（1，0），（5，0），
（
-
1
3
，
0
）
【解答】
【点评】
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发布：2024/10/3 12:0:1组卷：59引用：2难度：0.1
相似题
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1．已知：在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx-3（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，与y轴交于点C，且OC=OB=3OA．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设点D是点C关于此抛物线对称轴的对称点，直线AD，BC交于点P，试判断直线AD，BC是否垂直，并证明你的结论；
（3）在（2）的条件下，若点M，N分别是射线PC，PD上的点，问：是否存在这样的点M，N的坐标，使得以点P，M，N为顶点的三角形与△ACP全等？若存在，请求出点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．发布：2025/6/17 11:30:1组卷：129引用：1难度：0.4 -
2．如图，直线y1=-x+3与x轴于交于点B，与y轴交于点C．抛物线y2=-x2+bx+c经过B、C两点，并与x轴另一个交点为A．
（1）求抛物线y2的解析式；
（2）若点M在抛物线上，且S△MOC=4S△AOC，求点M的坐标；
（3）设点P是线段BC上一动点，过P作PQ⊥x轴，交抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值．发布：2025/6/17 2:0:1组卷：1010引用：3难度：0.3 -
3．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（6，0），B（-2，0），C（0，-3）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点H是该抛物线第四象限的任意一点，求四边形OCHA的最大面积；
（3）若点Q在x轴上，点G为该抛物线的顶点，且∠QGA=45°，求点Q的坐标．发布：2025/6/16 23:0:1组卷：401引用：5难度：0.5
