【自主探究】
在课堂上，老师指导大家做以下实践活动：大小相同的两个矩形ABCD，AEFG重合在一起，将矩形AEFG绕点A顺时针旋转，使得点G落在线段BC上，连接DE交AG于点H，如图（1）．
在猜想线段HD与HE的数量关系时，大家一致认为HD=HE，并且有两个小组给出如下的证明思路．
刘聪组：已知线段HE是直角三角形EAH的斜边，故可构造一个以HD为斜边的直角三角形，通过证明这两个三角形全等，即可得到HD=HE；
王慧组：要想证明HD=HE，可构造一个三角形，使得点H，A在此三角形的两条边上，再利用平行线分线段成比例定理进行证明．
【操作思考】
（1）请你分别在图（1）、图（2）中作出符合“刘聪组”和“王慧组”思路的辅助线，并将辅助线的作法写在下面的横线上．
刘聪组：过D作DM⊥AG于M过D作DM⊥AG于M
王慧组：过D作DN∥AH交EA延长线于N过D作DN∥AH交EA延长线于N
（2）请你根据（1）中所作辅助线进行判断，下面说法正确的是 CC
A．“刘聪组”的思路正确，“王慧组”的思路不正确
B．“王慧组”的思路正确，“刘聪组”的思路不正确
C．“刘聪组”和“王慧组”的思路都正确
D．“刘聪组”和“王慧组”的思路都不正确
【变式证明】
（3）将矩形AEFG绕点A顺时针旋转，使得点G落在线段CB的延长线上，连接DE交GA的延长线于点H，如图（3），则HD=HE成立吗？说明理由．
【拓展延伸】
（4）将矩形ABCD绕点A顺时针旋转，使得点F落在CB的延长线上，连接DE交FA的延长线于点H，且点C，A，E在同一直线上，如图（4），则HD=HE是否成立？如果成立，请直接写出ADAB的值；如果不成立，请说明理由．
AD
AB
【考点】四边形综合题．
【答案】过D作DM⊥AG于M；过D作DN∥AH交EA延长线于N；C
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：145引用：1难度：0.1
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1．如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F．
（1）求证：AE=EF；
（2）如图2，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”，其余条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？；（填“成立”或“不成立”）；
（3）如图3，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论AE=EF是否成立呢？若成立请证明，若不成立说明理由．
发布：2025/6/8 3:0:2组卷：677引用：7难度：0.5 -
2．如图1，在正方形ABCD中，点E是BC边上的一点，∠AEP=90°，且EP交正方形外角的平分线CP于点P．
（1）求∠ECP的度数；
（2）求证：AE=EP；
（3）在AB边上是否存在点M，使得四边形DEPM是平行四边形？若存在，请画出图形并给予证明；若不存在，请说明理由；
（4）如图2，在边长为4的正方形ABCD中，将线段AB沿射线BD平移，得到线段GF，连接CG、CF则直接写出CF+CG的最小值是 ．发布：2025/6/8 3:30:1组卷：41引用：1难度：0.2 -
3．在平面直角坐标系xOy中，已知，点A（a,0），M（b,a），其中a,b满足
，9-3b=12a-a2-36
（1）请直接写出a,b的值；
（2）如图1，过点M作MB⊥y轴于点B，N为y轴上一点，且∠MAN=45°，求点N的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，已知G为第一象限内一点，∠AGN=90°，当OG的值最大时，
①判断四边形OAGN的形状（不必并说明理由）；
②P是y轴上一点，在直线BG上是否存在点Q，使以B，M，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点Q及对应的点P的坐标；若不存在，请说明理由．发布：2025/6/8 4:0:1组卷：121引用：3难度：0.1
