已知圆C：x2+y2-6mx-2（m-1）y+10m2-2m-24=0，求证：
（1）无论m为何值，圆心都在同一直线l上；
（2）任一条平行于l的直线，若与圆相交，则被各圆所截得的弦长都相等．
【考点】直线与圆相交的性质．
【答案】证明：（1）圆的方程可化为：（x-3m）2+（y-m+1）2=25，圆心为（3m，m-1），r=5，
设x=3m，y=m-1，则x=3（y+1），即x-3y-3=0
∴无论m为何值，圆心都在同一直线l上，方程为x-3y-3=0；
（2）设直线x-3y+n=0
∴d==
∴弦长=2=2与m无关
∴任一条平行于l的直线，若与圆相交，则被各圆所截得的弦长都相等．
设x=3m，y=m-1，则x=3（y+1），即x-3y-3=0
∴无论m为何值，圆心都在同一直线l上，方程为x-3y-3=0；
（2）设直线x-3y+n=0
∴d=
|
3
m
-
3
（
m
-
1
）
+
n
|
10
|
3
+
n
|
10
∴弦长=2
25
-
d
2
25
-
（
3
+
n
）
2
10
∴任一条平行于l的直线，若与圆相交，则被各圆所截得的弦长都相等．
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：70引用：1难度：0.5
