已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），且点P（1，32）在椭圆C上；
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过椭圆C1：x2a2+y2b2-53=1上异于其顶点的任意一点Q作圆O：x2+y2=43的两条切线，切点分别为M、N（M、N不在坐标轴上），若直线MN在x轴，y轴上的截距分别为m、n,证明：13m2+1n2为定值；
（3）若P1、P2是椭圆C2：x2a2+3y2b2=1上不同两点，P1P2⊥x轴，圆E过P1、P2，且椭圆C2上任意一点都不在圆E内，则称圆E为该椭圆的一个内切圆，试问：椭圆C2是否存在过焦点F的内切圆？若存在，求出圆心E的坐标；若不存在，请说明理由．
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
3
2
x
2
a
2
+
y
2
b
2
-
5
3
4
3
1
3
m
2
+
1
n
2
x
2
a
2
+
3
y
2
b
2
=
1
【考点】椭圆的几何特征．
【答案】（1）．
（2）证明：
由题意：C1：+=1，
设点P（x1，y1），M（x2，y2），N（x3，y3），
∵M，N不在坐标轴上，∴kPM=-=-，
∴直线PM的方程为y-y2=-（x-x2），
化简得：x2x+y2y=，①，
同理可得直线PN的方程为x3x+y3y=，②，
把P点的坐标代入①、②得
，
∴直线MN的方程为x1x+y1y=，
令y=0，得m=，令x=0得n=，
∴x1=，y1=，
又点P在椭圆C1上，
∴（）2+3（）2=4，
则+=为定值．
（3）E（-，0）．
x
2
4
+
y
2
3
=
1
（2）证明：
由题意：C1：
x
2
4
3
y
2
4
设点P（x1，y1），M（x2，y2），N（x3，y3），
∵M，N不在坐标轴上，∴kPM=-
1
k
OM
x
2
y
2
∴直线PM的方程为y-y2=-
x
2
y
2
化简得：x2x+y2y=
4
3
同理可得直线PN的方程为x3x+y3y=
4
3
把P点的坐标代入①、②得
x 2 x 1 + y 2 y 1 = 4 3 |
x 3 x 1 + y 3 y 1 = 4 3 |
∴直线MN的方程为x1x+y1y=
4
3
令y=0，得m=
4
3
x
1
4
3
y
1
∴x1=
4
3
m
4
3
n
又点P在椭圆C1上，
∴（
4
3
m
4
3
n
则
1
3
m
2
1
n
2
3
4
（3）E（-
3
2
【解答】
【点评】
声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。
发布：2024/6/27 10:35:59组卷：335引用：7难度：0.5
相似题
-
1．已知椭圆C的两焦点分别为
、F1（-22，0），长轴长为6．F2（22，0）
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求以椭圆的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程．发布：2024/12/29 11:30:2组卷：443引用：6难度：0.8 -
2．已知椭圆
=1（a＞b＞0）的一个焦点为F（2，0），椭圆上一点P到两个焦点的距离之和为6，则该椭圆的方程为（ ）x2a2+y2b2发布：2024/12/29 12:30:1组卷：12引用：2难度：0.7 -
3．阿基米德（公元前287年-公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在x轴上，且椭圆C的离心率为
，面积为8π，则椭圆C的方程为（ ）32发布：2024/12/29 12:0:2组卷：229引用：7难度：0.5
