综合与实践：情景再现：我们动手操作：把正方形ABCD沿对角线剪开就分剪出两个等腰直角三角形，把其中一个等腰直角三角形与正方形ABCD重新组合在一起，图形变得丰富起来，当图形旋转时问题也随旋转应运而生．如图①把正方形ABCD沿对角线剪开，得两个等腰直角三角形△ACD和△BCE．
（1）问题呈现，我们把剪下的两个三角形一个放大另一个缩小拼成如图②所示的图形，①若点P是平面内一动点，AB=3，PA=1，则线段PB的取值范围是 2≤PB≤42≤PB≤4；②直接写出线段AE与DB的关系是 AE=DB，AE⊥DBAE=DB，AE⊥DB；
（2）我们把剪下的其中一个三角形放大与正方形组合如图③④⑤所示，点E在直线BC上，FM⊥CD交直线CD于M．①当点E在BC上时，如图③所示，求证：AD=MF+CE；②当点E在BC的延长线时，如图④所示，则线段AD、MF、CE具有的数量关系为 FM=AD+CEFM=AD+CE；当点E在CB的延长线上时，如图⑤所示，则线段AD、MF、CE具有的数量关系为 EC=AD+FMEC=AD+FM；
（3）在（2）的条件下，连接EM，当S△EMF=8，AF2=50，其他条件不变，则线段CE的长为 1或71或7．
S
△
EMF
=
8
，
A
F
2
=
50
【考点】四边形综合题．
【答案】2≤PB≤4；AE=DB，AE⊥DB；FM=AD+CE；EC=AD+FM；1或7
【解答】
【点评】
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发布：2025/5/23 1:0:1组卷：158引用：2难度：0.3
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1．已知：菱形ABCD和菱形A′B′C′D′，∠BAD=∠B′A′D′，起始位置点A在边A′B′上，点B在A′B′所在直线上，点B在点A的右侧，点B′在点A′的右侧，连接AC和A′C′，将菱形ABCD以A为旋转中心逆时针旋转α角（0°＜α＜180°）．
（1）如图1，若点A与A′重合，且∠BAD=∠B′A′D′=90°，求证：BB′=DD′．
（2）若点A与A′不重合，M是A′C′上一点，当MA′=MA时，连接BM和A′C，BM和A′C所在直线相交于点P．
①如图2，当∠BAD=∠B′A′D′=90°时，请猜想线段BM和线段A′C的数量关系及∠BPC的度数．
②如图3，当∠BAD=∠B′A′D′=60°时，请求出线段BM和线段A′C的数量关系及∠BPC的度数．
③在②的条件下，若点A与A′B′的中点重合，A′B′=4，AB=2，在整个旋转过程中，当点P与点M重合时，请直接写出线段BM的长．
发布：2025/5/23 3:30:1组卷：1720引用：3难度：0.1 -
2．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB在x轴上，AB、BC的长分别是一元二次方程x2-7x+12=0的两个根（BC＞AB），OA=2OB，边CD交y轴于点E，动点P以每秒1个单位长度的速度，从点E出发沿折线段ED-DA向点A运动，运动的时间为t（0≤t＜6）秒，设△BOP与矩形AOED重叠部分的面积为S．
（1）求点D的坐标；
（2）求S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）在点P的运动过程中，是否存在点P，使△BEP为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
发布：2025/5/23 3:30:1组卷：862引用：5难度：0.4 -
3．【推理】
如图1，在边长为10的正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连结BE，CF，延长CF交AD于点G，BE与CG交于点M．
（1）求证：CE=DG．
【运用】
（2）如图2，在【推理】条件下，延长BF交AD于点H．若CE=6，求线段DH的长．
【拓展】
（3）如图3，在【推理】条件下，连结AM．则线段AM的最小值为 ．
发布：2025/5/23 4:0:1组卷：423引用：5难度：0.4
