若函数y=f（x）（x∈D）同时满足下列两个条件，则称y=f（x）在D上具有性质M．
①y=f（x）在D上的导数f′（x）存在；
②y=f′（x）在D上的导数f″（x）存在，且f″（x）＞0（其中f″（x）=[f′（x）]′）恒成立．
（1）判断函数y=lg
1
x
在区间（0，+∞）上是否具有性质M？并说明理由．
（2）设a、b均为实常数，若奇函数g（x）=2x³+ax²+
b
x
在x=1处取得极值，是否存在实数c,使得y=g（x）在区间[c,+∞）上具有性质M？若存在，求出c的取值范围；若不存在，请说明理由．
（3）设k∈Z且k＞0，对于任意的x∈（0，+∞），不等式
1
+
ln
（
x
+
1
）
x
＞
k
x
+
1
成立，求k的最大值．

【答案】（1）函数

在区间（0，+∞）上有性质M；
（2）（0，+∞）；
（3）3．

【解答】

【点评】

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发布：2024/4/20 14:35:0组卷：233引用：4难度：0.4

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1．已知函数
f
（
x
）
=
ln
2
+
x
2
-
x
+
1
，若关于x的不等式
f
（
k
e
x
）
+
f
（
-
1
2
x
）
＞
2
对任意x∈（0，2）恒成立，则实数k的取值范围（　　）
A．（
1
2
e
，+∞） B．（
1
2
e
，
2
e
2
） C．（
1
2
e
，
2
e
2
] D．（
2
e
2
，1]
发布：2025/1/5 18:30:5组卷：296引用：2难度：0.4
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发布：2024/12/29 12:30:1组卷：47引用：4难度：0.5
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e
x
-
a
x
2
1
+
x
．
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1．已知函数f（x）=ln2+x2-x+1，若关于x的不等式f（kex）+f（-12x）＞2对任意x∈（0，2）恒成立，则实数k的取值范围（ ）