“抖空竹”在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．小颖玩”抖空竹”游戏时发现可以将某时刻的情形抽象成数学问题．如图，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D，延长AC，BD交于点P，连接OP，CD，⊙O的半径为2，∠DPC=90°．
（1）连接OC，OD，判断四边形CODP的形状，并说明理由．
（2）求劣弧CD的长．
（3）若某时刻∠BPM=30°，PM与CD交于点N，求PN的长．
【考点】圆的综合题．
【答案】（1）四边形CODP是正方形，理由见解析；
（2）π；
（3）2-2．
（2）π；
（3）2
3
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：253引用：1难度：0.3
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1．小亮学习了圆周角定理的推论“圆内接四边形对角互补”后，勇于思考大胆创新，并结合三角形的角平分线的性质进行了以下思考和发现：
（1）①如图1，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠B=85°，则∠ADE=；
②如图2，在△ABC中，BE，CE分别平分∠ABC和∠ACD，BE，CE相交于点E，∠A=42°，则∠E=°；
（2）小亮根据这个发现，又进行了以下深入研究：
如图3，四边形ABCD内接于⊙O，对角线BD是⊙O的直径，AC=BC，点F是弧AD的中点，求∠E的度数[（1）中的结论可直接用]．
发布：2025/5/24 19:30:1组卷：127引用：1难度：0.4 -
2．如图1，在等腰△ABC中，AB=AC，AO平分∠BAC且交BC于点O，AB与⊙O相切于点D，OC交⊙O于点H，连接OD．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）延长DO、AC交于点E，若CE=OC，求证：OA=OE；
（3）在（2）的条件下，连接DH交AO于点K，若OK•AK=8-12，求⊙O的半径并直接写出DK•HK的值．3
发布：2025/5/24 19:30:1组卷：184引用：1难度：0.1 -
3．点E为正方形ABCD的边CD上一动点，直线AE与BD相交于点F，与BC的延长线相交于点G．
（1）如图①，若正方形的边长为2，设DE=x,△DEG的面积为y,求y与x的函数关系；
（2）如图②，求证：CF是△ECG的外接圆的切线；
（3）如果把正方形ABCD换成是矩形或菱形，（2）的结论是否仍然成立？
发布：2025/5/24 18:30:1组卷：91引用：1难度：0.1
