【概念理解】若一条直线l把一个图形分成面积相等的两个图形，则称这样的直线l叫做这个图形的等积直线．如图1，直线l经过三角形ABC的顶点A和边BC的中点N，易知直线l将△ABC分成两个面积相等的图形，则称直线l为△ABC的等积直线．
（1）如图2，矩形ABCD对角线AC，BD相交于点O，直线EF过点O，分别交AD，BC于点E，F．
①求证：AE=CF．
②请你判断直线EF是否为该矩形的等积直线． 是是．（填“是”或“不是”）
（2）【问题探究】如图3是一个缺角矩形，其中∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=90°，小华同学给出了该图形等积直线的一个作图方案：将这个图形分成矩形AGEF、矩形GBCD，这两个矩形的对称中心O1，O2所在直线是该缺角矩形的等积直线．
如图4，直线O1O2是该图形的一条等积直线，它与边BC，AF分别交于点M，N，过MN的中点O的直线分别交边BC，AF于点P，Q，直线PQ 是是（填“是”或“不是”）缺角矩形ABCDEF的等积直线．
（3）【实际应用】若缺角矩形ABCDEF是老张家的一块田地如图5．P为水井，现要把这块田地平均分给两个儿子，为了灌溉方便，便想使每个儿子分得的土地都有一边和水井相邻，试问该如何分割这块土地？画出图形，并说明理由．
【考点】四边形综合题．
【答案】是；是
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：149引用：5难度：0.2
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1．如图，在△ABC中，BD、CE分别为AC、AB边上的中线，BD、CE交于点H，点G、F分别为HC、HB的中点，连接AH、DE、EF、FG、GD，其中HA=BC．
（1）当AC=AB时，求证：BD=CE；
（2）证明：四边形DEFG为菱形；
（3）当猜想当AC、AB满足怎样的数量关系时，四边形DEFG为正方形，并说明理由．发布：2025/6/8 5:30:2组卷：55引用：2难度：0.1 -
2．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（6，0）．点Q从原点出发，沿着y轴正方向运动，动点P位于点A左侧，且AP=2OQ，以OP，QP为邻边构造▱POBQ，如图1，设OQ=n.
（1）当点P运动到线段AO的中点时，求n的值及点B的坐标；
（2）▱POBQ的面积能否等于4？若能，求出n的值；若不能，请说明理由；
（3）如图2，点B关于原点的中心对称点为点B′，连接AB′，OB′，当n为何值时，△AOB′为等腰三角形．（直接写出答案）
发布：2025/6/8 5:30:2组卷：375引用：5难度：0.2 -
3．如图，在正方形ABCD中，点M在CD边上，点N在正方形ABCD外部，且满足∠CMN=90°，CM=MN．连接AN，CN，取AN的中点E，连接BE，AC，交于F点．
（1）①依题意补全图形；
②求证：BE⊥AC．
（2）请探究线段BE，AD，CN所满足的等量关系，并证明你的结论．
（3）设AB=1，若点M沿着线段CD从点C运动到点D，则在该运动过程中，线段EN所扫过的面积为（直接写出答案）．发布：2025/6/8 6:30:2组卷：577引用：8难度：0.1
