2021年新高考数学试卷中多选题规定：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．小明在做多选题的第11题、第12题时通常有两种策略：
策略A：为避免有选错的得0分，在四个选项中只选出一个自己最有把握的选项，将多选题当作“单选题”来做．这种策略每个题耗时约3分钟．
策略B：争取将该问题得5分，选出自己认为正确的全部选项．这种策略每个题耗时约6分钟．某次数学考试临近，小明通过前期大量模拟训练得出了其各种策略下11题和12题的作答情况如下：
第11题：如果采用策略A，选对一个选项的概率为0.8，采用策略B，部分选对的概率为0.5，全部选对的概率为0.4；第12题：如果采用策略A，选对一个选项的概率为0.7，采用策略B，部分选对的概率为0.6，全部选对的概率为0.3．
如果这两题总用时超过10分钟，其他题目会因为时间紧张少得2分．假设小明作答两题的结果互不影响．
（1）若小明同学此次考试中决定11题采用策略B、12题采用策略A，设此次考试他11题和12题总得分为X，求X的分布列；
（2）小明考前设计了以下两种方案：
方案1：11题采用策略B，12题采用策略A；
方案2：11题和12题均采用策略B．
如果你是小明的指导老师，从整张试卷尽可能得分更高的角度出发，根据小明的实际情况，你赞成他的第几种方案，并说明理由．
【答案】（1）X的分布列为：
（2）方案1，由（1）可知，小明采用方案1时，第11题和第12题总得分的均值为：
E（X）=0×0.03+2×0.22+4×0.35+5×0.12+7×0.28=4.4，
设随机变量Y为小明采用方案2时，第11题和第12题总得分，
则Y的可能取值为0，2，4，5，7，10，
故P（Y=0）=0.1×0.1=0.01，
P（Y=2）=0.1×0.6+0.5×0.1=0.11，
P（Y=4）=0.5×0.6=0.3，
P（Y=5）=0.1×0.3+0.4×0.1=0.07，
P（Y=7）=0.5×0.3+0.4×0.6=0.39，
P（Y=10）=0.4×0.3=0.12，
故Y的分布列为：
所以E（Y）=0×0.01+2×0.11+4×0.3+5×0.07+7×0.39+10×0.12=5.7，
但因为时间超过10分钟，后面的题得分少，相当于得分均值为3．
因为5.7-2=3.7＜4.4，
所以我赞成小明的方案1．
| X | 0 | 2 | 4 | 5 | 7 |
| P | 0.03 | 0.22 | 0.35 | 0.12 | 0.28 |
E（X）=0×0.03+2×0.22+4×0.35+5×0.12+7×0.28=4.4，
设随机变量Y为小明采用方案2时，第11题和第12题总得分，
则Y的可能取值为0，2，4，5，7，10，
故P（Y=0）=0.1×0.1=0.01，
P（Y=2）=0.1×0.6+0.5×0.1=0.11，
P（Y=4）=0.5×0.6=0.3，
P（Y=5）=0.1×0.3+0.4×0.1=0.07，
P（Y=7）=0.5×0.3+0.4×0.6=0.39，
P（Y=10）=0.4×0.3=0.12，
故Y的分布列为：
| Y | 0 | 2 | 4 | 5 | 7 | 10 |
| P | 0.01 | 0.11 | 0.3 | 0.07 | 0.39 | 0.12 |
但因为时间超过10分钟，后面的题得分少，相当于得分均值为3．
因为5.7-2=3.7＜4.4，
所以我赞成小明的方案1．
【解答】
【点评】
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发布：2024/7/10 8:0:8组卷：123引用：4难度：0.5
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