已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左右顶点分别为A1（-2，0），A2（2，0），右焦点为F，点T（1，32）在椭圆上．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）P为椭圆上不与A1，A2重合的任意一点，直线A1P，A2P分别与直线x=4相交于点M，N，求证：FM⊥FN．
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
T
（
1
，
3
2
）
【考点】直线与椭圆的综合．
【答案】（1）；
（2）由（1）知c=1，∴F（1，0），
设P（x0，y0），则，
∴直线A1P的方程为，
令x=4，则，即，
又直线A2P的方程为，
令x=4，则，即，
∴
=，
∴，即FM⊥FN．
x
2
4
+
y
2
3
=
1
（2）由（1）知c=1，∴F（1，0），
设P（x0，y0），则
x
0
2
4
+
y
0
2
3
=
1
∴直线A1P的方程为
y
-
y
0
=
y
0
x
0
+
2
（
x
-
x
0
）
令x=4，则
y
M
=
6
y
0
x
0
+
2
M
（
4
，
6
y
0
x
0
+
2
）
又直线A2P的方程为
y
-
y
0
=
y
0
x
0
-
2
（
x
-
x
0
）
令x=4，则
y
N
=
2
y
0
x
0
-
2
N
（
4
，
2
y
0
x
0
-
2
）
∴
FM
•
FN
=
（
3
，
6
y
0
x
0
+
2
）
•
（
3
，
2
y
0
x
0
-
2
）
=
3
×
3
+
6
y
0
x
0
+
2
×
2
y
0
x
0
-
2
=
9
+
12
y
0
2
x
0
2
-
4
=
9
+
12
×
3
（
1
-
x
0
2
4
）
x
0
2
-
4
=
9
+
（
-
9
）
=
0
∴
FM
⊥
FN
【解答】
【点评】
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发布：2024/4/20 14:35:0组卷：106引用：7难度：0.5
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