如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（ac≠0）与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．若线段OA、OB、OC的长满足OC2=OA•OB，则这样的抛物线称为“黄金”抛物线．如图，抛物线y=ax2+bx+2（a≠0）为“黄金”抛物线，其与x轴交点为A，B（其中B在A的右侧），与y轴交于点C，且OA=4OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若P为AC上方抛物线上的动点，过点P作PD⊥AC，垂足为D．
①求PD的最大值；
②连接PC，当△PCD与△ACO相似时，求点P的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）；
（2）①；
②P的坐标（-3，2）或者．
y
=
-
1
2
x
2
-
3
2
x
+
2
（2）①
4
5
5
②P的坐标（-3，2）或者
（
-
3
2
，
25
8
）
【解答】
【点评】
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发布：2025/5/25 7:0:2组卷：1126引用：11难度：0.1
相似题
-
1．在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴的两个交点分别为A（-3，0）、B（1，0），过顶点C作CH⊥x轴于点H．
（1）直接填写：a=，b=，顶点C的坐标为；
（2）在y轴上是否存在点D，使得△ACD是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由．发布：2025/6/17 23:30:2组卷：163引用：1难度：0.4 -
2．如图，抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与A重合），过点P作PD∥y轴交直线AC于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；
（3）△APD能否构成直角三角形？若能，请直接写出所有符合条件的点P坐标；若不能，请说明理由．发布：2025/6/18 0:30:4组卷：1978引用：7难度：0.2 -
3．如图，抛物线y=ax2-3ax+b与直线AB交于A（-2，
）、B（4，0）两点，点C是此抛物线上的一个动点，过点C作CD⊥x轴，交直线AB于点D．32
（1）求此抛物线的解析式；
（2）如图①，当点C在直线AB下方的抛物线上运动时，请求出线段CD长度的最大值；
（3）如图②，以D为圆心，CD的长为半径作⊙D．当⊙D与x轴相切时，请直接写出点C的横坐标．
发布：2025/6/17 22:30:1组卷：63引用：1难度：0.2
