【问题探究】（1）如图（1）在正方形ABCD中，AB=6，点E为DC上的点，DE=2CE，连接BE，点O为BE上的点，过点O作MN⊥BE交AD于点M，交BC于点N，则MN的长度为 210210；
【类比迁移】（2）如图（2）在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，连接BD，过BD的中点O作MN⊥BD交AD于点M，交BC于点N，求MN的长度．
【拓展应用】（3）如图（3）李大爷家有一块平行四边形ABCD的菜地，测得AB=52米，BC=7米，∠ABC=45°，为了管理方便，李大爷沿着对角线BD开一条小路，过这小路的正中间，开了另一条垂直于它的小路MN（小路面积忽略不计），求新开出的小路MN的长度．
10
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5
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【考点】四边形综合题．
【答案】2
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【解答】
【点评】
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发布：2024/4/30 13:42:58组卷：184引用：3难度：0.3
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1．连接四边形不相邻两个顶点的线段叫做四边形的对角线，如图1，四边形ABCD中线段AC、线段BD就是四边形ABCD的对角线．把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由．
（2）性质探究：试探索垂美四边形ABCD两组对边AB，CD的平方和与BC，AD的平方和之间的数量关系．
猜想结论：（要求用文字语言叙述） ．
写出证明过程（先画出图形，写出已知、求证）．
（3）问题解决：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC=4，AB=5，求GE长．
发布：2025/6/17 6:30:2组卷：304引用：2难度：0.5 -
2．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，点D在边AB上以CD为底边作等腰直角△CDP（点P，A在直线CD的两侧），射线CP交直线AB于点E．
（1）若点D是AB的中点，且BC=2，求DP的长；
（2）当△CDE是等腰三角形时，求∠BCE的度数；
（3）如图2，设AP=a,求四边形ADPC面积的最小值．（用含a的式子表示）发布：2025/6/17 4:30:1组卷：26引用：1难度：0.4 -
3．如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A，点D重合），将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF．连接BP、BH．（友情提醒：正方形的四条边都相等．即AB=BC=CD=DA；四个内角都是90°；即∠A=∠B=∠C=∠D=90°）
（1）求证：∠APB=∠BPH．
（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论．
（3）设AP为x,求出的BE长．（用含x的代数式表示）发布：2025/6/17 6:0:2组卷：456引用：3难度：0.3
