当已知三角形一边中点时，我们常通过“倍长中线”来构造全等的两个三角形，从而解决问题．
如图，已知△ABC，点D是BC的中点，延长AD至点E，使DE=AD，连接CE，易得到△ECD≌△ABD，从而得到CE=AB，∠CED=∠BAD．
已知△ABC，点D是BC的中点．
（1）如图1，点E在AD上，延长CE交AB于点F，且FA=FE，求证：CE=AB；小明同学应用倍长中线的方法，延长ED至点M，使ED=DM，连接BM，请你帮助他写出证明过程；
（2）如图2，点E，G在射线DA上，连接BE，CG，BG，延长CG交BE于点F，若FE=FG，G为ED的中点，求证：BG=BD；
（3）在（2）的条件下，若点M是线段DG的中点，∠DBG=40°，NH垂直平分线段BG，在NH上有一动点P，连接GP，DP，PM，当△GPM的周长最小时，求∠DPH的度数．
【考点】三角形综合题．
【答案】（1）证明见解析过程；
（2）证明见解析过程；
（3）30°．
（2）证明见解析过程；
（3）30°．
【解答】
【点评】
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发布：2024/7/15 8:0:9组卷：282引用：6难度：0.5
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1．（1）操作发现：如图①，D是等边三角形ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方作等边三角形DCF，连接AF．你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论．
（2）类比猜想：如图②，当动点D运动到等边三角形ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，是否有新的结论？如果有新的结论，直接写出新的结论，不需证明．
（3）深入探究：
①如图③，当动点D在等边三角形ABC的边BA上运动时（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在其上方、下方分别作等边三角形DCF和等边三角形DCF'，连接AF，BF'．探究AF，BF'与AB有何数量关系？直接写出你的结论，不需证明．
②如图④，当动点D在等边三角形ABC的边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，①中的结论是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，是否有新的结论？如果有新的结论，直接写出新的结论，不需证明．
发布：2025/6/23 21:0:1组卷：224引用：2难度：0.3 -
2．（1）如图1，∠MAN=90°，射线AD在这个角的内部，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，且AB=AC，CF⊥AD于点F，BE⊥AD于点E．求证：BE=AF
（2）如图2，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，点E、F都在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB=AC，且∠1=∠2=∠BAC．（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）如图3，在△ABC中，AB=AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD=2BD，点E、F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面积为15，求△ACF与△BDE的面积之和．
发布：2025/6/23 20:0:1组卷：434引用：3难度：0.1 -
3．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AC=8
cm,AD⊥BC于点D，点P从点A出发，沿A→C方向以2cm/s的速度运动到点C停止，在运动过程中，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，以线段PQ为边作等腰直角三角形PQM，且∠PQM=90°（点M，C位于PQ异侧）．设点P的运动时间为x（s），△PQM与△ADC重叠部分的面积为y（cm2）2
（1）当点M落在AB上时，x=；
（2）当点M落在AD上时，x=；
（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
发布：2025/6/23 20:0:1组卷：1692引用：6难度：0.5
