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观察下面的变形规律：
1
1
×
2
=1-
1
2
； 
1
2
×
3
=
1
2
-
1
3
；
1
3
×
4
=
1
3
-
1
4
；…
解答下面的问题：
（1）若n为正整数，请你猜想
1
n
（
n
+
1
）
=
1
n
-
1
n
+
1
1
n
-
1
n
+
1
；
（2）证明你猜想的结论；
（3）求和：
1
1
×
2
+
1
2
×
3
+
1
3
×
4
+…+
1
2011
×
2012
．

【考点】分式的加减法．
【答案】
1
n
-
1
n
+
1
【解答】
【点评】
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发布：2024/4/20 14:35:0组卷：258引用：15难度：0.5
相似题

  • 1．已知实数a,b满足的关系式为
    1
    a
    +
    1
    b
    =
    5
    a
    +
    b
    ，则
    a
    2
    +
    b
    2
    ab
    的值为（　　）

    发布：2025/6/15 3:30:1组卷：45引用：1难度：0.8
    解析

  • 2．（1）计算：
    1
    x
    +
    2
    +
    2
    x
    +
    1
    ；
    （2）若
    x
    +
    4
    （
    x
    +
    1
    ）
    （
    x
    -
    2
    ）
    =
    a
    x
    -
    2
    +
    b
    x
    +
    1
    ，试求a,b的值；
    （3）①若
    1
    （
    2
    n
    -
    1
    ）
    （
    2
    n
    +
    1
    ）
    =
    a
    2
    n
    -
    1
    +
    b
    2
    n
    +
    1
    对任意自然数n都成立，则a=
    ，b=
    ；
    ②计算：
    1
    1
    ×
    3
    +
    1
    3
    ×
    5
    +
    1
    5
    ×
    7
    +
    …
    +
    1
    19
    ×
    21
    ．

    发布：2025/6/15 8:30:1组卷：345引用：1难度：0.3
    解析

  • 3．阅读下面的解题过程：
    已知
    x
    x
    2
    +
    1
    =
    1
    3
    ，求
    x
    2
    x
    4
    +
    1
    的值．
    解：由已知可得x≠0，则
    x
    2
    +
    1
    x
    =3，即x+
    1
    x
    =3．
    ∵
    x
    4
    +
    1
    x
    2
    =x2+
    1
    x
    2
    =（x+
    1
    x
    ）2-2=32-2=7，
    ∴
    x
    2
    x
    4
    +
    1
    =
    1
    7
    ．
    上面材料中的解法叫做“倒数法”．
    请你利用“倒数法”解下面的题目：
    （1）已知
    x
    x
    2
    -
    3
    x
    +
    1
    =
    1
    5
    ，求
    x
    2
    x
    4
    +
    x
    2
    +
    1
    的值；
    （2）已知
    xy
    x
    +
    y
    =2，
    xz
    x
    +
    z
    =
    4
    3
    ，
    yz
    y
    +
    z
    =1，求
    xyz
    xy
    +
    xz
    +
    yz
    的值．

    发布：2025/6/15 4:0:1组卷：323引用：1难度：0.4
    解析
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