综合与实践
问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：
1，在等腰Rt△ABC中，∠A=90°，点E在AC上运动，∠BEF=45°，CG∥FE．探究∠AEF与∠ABE之间的关系，并证明．
独立思考：（1）请解答王老师提出的问题．
实践探究：（2）在原有条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出了新问题，请你解答．
“①若AF=m,BG=n,则求线段AE的长（用含m、n的式子表示）；
②如图2，当点E在AC的延长线上，则①中所求AE的长度是否仍然成立？若成立，请简要说明理由；若不成立，请直接写出AE的长（用含m、n的式子表示）．”
问题解决：（3）数学活动小组的同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，保留原题条件，如果给出BE与CG的数量关系，则图3中所有已经用字母标记的任意两条 线段之间的比值均可求．该小组提出下面的问题，请你解答．
“在（2）的条件下，若BE=CG，请在备用图中补全图形，并求mn的值．”
m
n
【考点】三角形综合题．
【答案】（1）∠ABE+∠AEF=45°；
（2）①m-n；
②m+n；
（3）．
（2）①m-n；
②m+n；
（3）
2
-
2
2
【解答】
【点评】
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发布：2025/5/22 22:30:1组卷：391引用：1难度：0.1
相似题
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1．问题提出
如图（1），在△ABC中，AB=AC，D是AC的中点，延长BC至点E，使DE=DB，延长ED交AB于点F，探究的值．AFAB
问题探究
（1）先将问题特殊化．如图（2），当∠BAC=60°时，直接写出的值；AFAB
（2）再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立．
问题拓展
如图（3），在△ABC中，AB=AC，D是AC的中点，G是边BC上一点，=CGBC（n＜2），延长BC至点E，使DE=DG，延长ED交AB于点F．直接写出1n的值（用含n的式子表示）．AFAB
发布：2025/5/23 0:30:1组卷：3847引用：7难度：0.3 -
2．如图，已知：Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC的中点，点P是BC边上的一个动点．
（1）如图1，若点P与点D重合，连接AP，则AP与BC的位置关系是 ；
（2）如图2，若点P在线段BD上，过点B作BE⊥AP于点E，过点C作CF⊥AP于点F，则CF，BE和EF这三条线段之间的数量关系是 ；
（3）如图3，在（2）的条件下，若BE的延长线交直线AD于点M，求证：CP=AM；
（4）如图4，已知BC=4，若点P从点B出发沿着BC向点C运动，过点B作BE⊥AP于点E，过点C作CF⊥AP于点F，设线段BE的长度为d1，线段CF的长度为d2，试求出点P在运动的过程中d1+d2的最大值．
发布：2025/5/23 2:30:1组卷：469引用：3难度：0.4 -
3．定理证明
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，求证：CD=AB．12
下面给出了部分证明过程：
证明：如图1，延长CD至点E，使DE=CD，连接AE，BE，
则，…CD=12CE
请你结合图1，补全证明过程；
结论应用
（2）如图2，在△ABC中，D为边BC的中点，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，连接DE，DF和EF．若BC=10，EF=6，求△DEF的面积；
拓展提高
（3）如图3，在△ABC中，∠B=30°，∠ADC=45°，AD恰好是中线，求∠ACB的度数．
发布：2025/5/23 4:0:1组卷：150引用：1难度：0.2
