公元1651年，法国一位著名的统计学家德梅赫（De mere）向另一位著名的数学家帕斯卡（B．Pascal）提请了一个问题，帕斯卡和费马（Fermat）讨论了这个问题，后来惠更斯（C．Huygens）也加入了讨论，这三位当时全欧洲乃至全世界最优秀的科学家都给出了正确的解答．该问题如下：
设两名赌徒约定谁先赢k（k＞1，k∈N*）局，谁便赢得全部赌注a元．每局甲赢的概率为p（0＜p＜1），乙赢的概率为1-p,且每局赌博相互独立．在甲赢了m（m＜k）局，乙赢了n（n＜k）局时，赌博意外终止．赌注该怎么分才合理？这三位数学家给出的答案是：如果出现无人先赢k局则赌博意外终止的情况，甲、乙便按照赌博再继续进行下去各自赢得全部赌注的概率之比P甲：P乙分配赌注．
（1）规定如果出现无人先赢k局则赌博意外终止的情况，甲、乙便按照赌博再继续进行下去各自赢得全部赌注的概率之比P甲：P乙分配赌注．若a=243，k=4，m=2，n=1，p=23，则甲应分得多少赌注？
（2）记事件A为“赌博继续进行下去乙赢得全部赌注”，试求当k=4，m=2，n=1时赌博继续进行下去甲赢得全部赌注的概率f（p），并判断当p≥34时，事件A是否为小概率事件，并说明理由．
规定：若随机事件发生的概率小于0.05，则称该随机事件为小概率事件．
2
3
3
4
【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．
【答案】（1）216元．
（2）不一定，
设赌博继续进行X局乙赢得全部赌注，则最后一局必然乙赢．
当X=3时，乙以4：2赢，P（X=3）=（1-p）3，
当X=4时，乙以4：3赢，P（X=4）==3p（1-p）3，
所以，乙赢得全部赌注的概率为P（A）=（1-p）3+3p（1-p）3=（1+3p）（1-p）3．
∴甲赢得全部赌注的概率f（p）=1-（1+3p）（1-p）3．
求导f′（p）=-3（1-p）3-（1+3p）•3（1-p）2•（-1）=12p（1-p）2．
∵，∴f′（p）＞0，∴f（p）在[，1）上单调递增，
于是f（p）min=f（）=，
故乙赢的概率为1-=≈0.0508＞0.05，
故事件A不一定是小概率事件．
（2）不一定，
设赌博继续进行X局乙赢得全部赌注，则最后一局必然乙赢．
当X=3时，乙以4：2赢，P（X=3）=（1-p）3，
当X=4时，乙以4：3赢，P（X=4）=
C
1
3
p
（
1
-
p
）
3
所以，乙赢得全部赌注的概率为P（A）=（1-p）3+3p（1-p）3=（1+3p）（1-p）3．
∴甲赢得全部赌注的概率f（p）=1-（1+3p）（1-p）3．
求导f′（p）=-3（1-p）3-（1+3p）•3（1-p）2•（-1）=12p（1-p）2．
∵
3
4
≤
p
＜
1
3
4
于是f（p）min=f（
3
4
243
256
故乙赢的概率为1-
243
256
13
256
故事件A不一定是小概率事件．
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：451引用：4难度：0.4
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