如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx-2的图象经过点A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点C，连接BC、AC．
（1）求二次函数的函数表达式；
（2）设二次函数的图象的顶点为D，求直线BD的函数表达式以及sin∠CBD的值；
（3）若点M在线段AB上（不与A、B重合），点N在线段BC上（不与B、C重合），是否存在△CMN与△AOC相似，若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）二次函数的函数表达式为y=x2-x-2；
（2）直线BD的函数表达式为：；sin∠CBD=；
（3）存在△CMN与△AOC相似，点N的坐标为：或或．
2
3
4
3
（2）直线BD的函数表达式为：
y
=
4
3
x
-
4
6
13
65
（3）存在△CMN与△AOC相似，点N的坐标为：
（
15
7
，-
4
7
）
（
12
7
，-
6
7
）
（
3
4
，-
3
2
）
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：1048引用：4难度：0.1
相似题
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1．如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与一直线相交于A（-1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．
（1）抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；
（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由．发布：2025/5/23 8:0:2组卷：2234引用：15难度：0.1 -
2．综合与探究
如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x2+bx+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（-2，0），抛物线上有一动点P，点P在第一象限，过点P作y轴的平行线分别交x轴和直线BC于点D和点E．38
（1）求抛物线及线段BC的函数关系式；
（2）当点E为线段DP的中点时，求点E的坐标；
（3）如图2，作射线OP，交直线BC于点F，当△OBF是等腰三角形时，求点F的坐标．
发布：2025/5/23 8:0:2组卷：210引用：1难度：0.3 -
3．如图，已知抛物线y=ax2+2x+c交x轴于点A（-1，0）和点B（3，0），交y轴于点C，点D与点C关于抛物线的对称轴对称．
（1）求该抛物线的表达式，并求出点D的坐标；
（2）若点E为该抛物线上的点，点F为直线AD上的点，若EF∥x轴，且EF=1（点E在点F左侧），求点E的坐标；
（3）若点P是该抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使得△APD为直角三角形？若不存在，请说明理由；若存在，直接写出点P坐标．发布：2025/5/23 8:0:2组卷：263引用：2难度：0.1
