【教材呈现】如下是华师版八年级下册数学教材117页的部分内容．
已知：如图①，已知矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F，求证：四边形AFCE是菱形．
分析：要证四边形AFCE是菱形，由已知条件可知EF⊥AC，所以只需证明四边形AFCE是平行四边形，又知EF垂直平分AC，所以只需证明OE=OF．
【问题解决】请结合图①写出证明过程；
【应用】如图②，直线EF分别交矩形纸片ABCD的边AD、BC于点E、F，将矩形纸片ABCD沿着EF翻折，使点C与点A重合，点D与点D'重合，连结CE，若AB=3，BC=4，则EF=154154；
【拓展】如图③，直线EF分别交平行四边形ABCD的边AD、BC于点E、F，将平行四边形ABCD沿着EF翻折，使点A与点C重合，点D与点D'重合，连结CE，若AB=32，BC=6，∠BCD=45°，则四边形AFCE的面积是 1515．
15
4
15
4
AB
=
3
2
【考点】四边形综合题．
【答案】；15
15
4
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：271引用：2难度：0.1
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1．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（6，0）．点Q从原点出发，沿着y轴正方向运动，动点P位于点A左侧，且AP=2OQ，以OP，QP为邻边构造▱POBQ，如图1，设OQ=n.
（1）当点P运动到线段AO的中点时，求n的值及点B的坐标；
（2）▱POBQ的面积能否等于4？若能，求出n的值；若不能，请说明理由；
（3）如图2，点B关于原点的中心对称点为点B′，连接AB′，OB′，当n为何值时，△AOB′为等腰三角形．（直接写出答案）
发布：2025/6/8 5:30:2组卷：375引用：5难度：0.2 -
2．如图，在△ABC中，BD、CE分别为AC、AB边上的中线，BD、CE交于点H，点G、F分别为HC、HB的中点，连接AH、DE、EF、FG、GD，其中HA=BC．
（1）当AC=AB时，求证：BD=CE；
（2）证明：四边形DEFG为菱形；
（3）当猜想当AC、AB满足怎样的数量关系时，四边形DEFG为正方形，并说明理由．发布：2025/6/8 5:30:2组卷：55引用：2难度：0.1 -
3．已知，矩形ABCD中，AB=4cm,BC=8cm,AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．
（1）如图1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；
（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周，即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止，在运动过程中，已知点P的速度为每秒5cm,点Q的速度为每秒4cm,运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．发布：2025/6/8 5:0:1组卷：859引用：16难度：0.1
